Demostración del Teorema sobre las Bases de los Espacios Vectoriales (4)

En un espacio vectorial $V$ de dimensión conocida $\dim(V) = n$, si un conjunto de vectores $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ es linealmente independiente, entonces dicho conjunto forma una base de $V$.

Demostración

El teorema se fundamenta en el hecho de que la dimensión del espacio vectorial es conocida:

$$ \dim(V) = n $$

En un espacio vectorial de dimensión $n$, cualquier base está compuesta, necesariamente, por $n$ vectores linealmente independientes.

Nota. Por definición, una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el espacio.

En este caso, el conjunto $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ ya se nos da como linealmente independiente.

La cuestión es determinar si este conjunto también genera el espacio $V$.

Según el teorema de completación de bases, cualquier conjunto de $p$ vectores linealmente independientes con $p < n$ puede completarse con $n - p$ vectores adicionales para formar una base.

Sin embargo, en este caso particular, el conjunto ya contiene exactamente $n$ vectores linealmente independientes.

Por tanto, no es posible añadir nuevos vectores sin perder la independencia lineal, ni eliminar alguno sin dejar de generar el espacio.

Nota. Si se añadiera un vector adicional, el conjunto tendría $n + 1$ elementos, y necesariamente uno de ellos sería combinación lineal de los demás. Por otro lado, si se eliminara un vector, el conjunto perdería su capacidad de generar $V$.

Así, dado que el conjunto contiene el número exacto de vectores requerido por la dimensión del espacio y es linealmente independiente, se concluye que constituye una base de $V$.

Q.E.D.