Demostración del teorema sobre las bases de un espacio vectorial (2)

En un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$, dado un conjunto de vectores linealmente independientes $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$ con $p \leq n$, siempre es posible completarlo - añadiendo vectores adecuados - hasta obtener una base del espacio.

Demostración

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita:

$$ \dim V = n $$

Por definición, toda base de $V$ está formada por exactamente $n$ vectores:

$$ B = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \} $$

Supongamos que contamos con un conjunto de $p$ vectores linealmente independientes en $V$:

$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_p \} $$

con $p \leq n$:

$$ p \leq n $$

Queremos verificar si este conjunto genera todo el espacio $V$.

• Si el conjunto $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$ genera $V$, entonces constituye una base y no es necesario ningún paso adicional.
• Si no lo genera, existe al menos un vector $v_{p+1} \in V$ que no puede expresarse como combinación lineal de los vectores anteriores. En tal caso, añadimos $v_{p+1}$ al conjunto:

$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_p, \vec{v}_{p+1} \} $$

Dado que $v_{p+1}$ no pertenece al subespacio generado por $\{v_1, \dots, v_p\}$, el nuevo conjunto ampliado sigue siendo linealmente independiente.

Volvemos a analizar si el conjunto actual genera $V$. Si no lo hace, repetimos el procedimiento: identificamos un nuevo vector $v_{p+2}$ linealmente independiente de los anteriores, y lo incorporamos al conjunto.

Este proceso continúa hasta obtener un conjunto de $n$ vectores linealmente independientes:

$$ \{ v_1, v_2, \dots, v_{p+k} \} \quad \text{con} \quad p + k = n $$

Al alcanzar un conjunto de $n$ vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión $n$, se garantiza que dicho conjunto constituye una base de $V$.

Por tanto, cualquier conjunto de vectores linealmente independientes puede completarse - en un número finito de pasos - hasta formar una base del espacio.

Q.E.D.