Teorema de la dimensión de una base en un espacio vectorial
Definición
En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, si existe una base B de V con un número finito de elementos (es decir, si V tiene dimensión finita), entonces cualquier otra base B' de V tendrá necesariamente el mismo número de elementos.
Demostración
Sea V un espacio vectorial con una base B formada por n vectores:
$$ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $$
Supongamos por absurdo que existe otra base B' con m vectores, donde m > n:
$$ B' = \{ v_1, \dots, v_n, v_{n+1}, \dots, v_m \} \quad \text{con} \:\: m > n $$
Según el teorema de completación de bases, es posible añadir los m-n vectores adicionales de B' a B:
$$ \{ v_{n+1}, \dots, v_m \} $$
Pero esto lleva a una contradicción.
Si B ya es una base de V con n elementos, entonces es un conjunto maximal de vectores linealmente independientes.
De acuerdo con el teorema de dependencia lineal respecto a una base, cualquier vector que se añada a B será necesariamente linealmente dependiente del conjunto.
Por tanto, si B es una base, B' no puede serlo, ya que contiene m-n vectores linealmente dependientes.
Esto contradice la definición de base, que exige independencia lineal.
Concluimos entonces que debe cumplirse:
$$ m = n $$
Es decir, todas las bases de V tienen la misma cardinalidad. Si existe una base con n elementos, no puede existir otra con más ni con menos.
Nota. También puede demostrarse el caso contrario: no puede haber una base con menos de n vectores, ya que no generaría todo el espacio. En tal caso, sería necesario completarla añadiendo n-k vectores linealmente independientes.
Demostración alternativa
Consideremos dos bases del espacio vectorial V:
- Una base generadora con n vectores: $$ \{ v_1, v_2, \dots, v_n \} $$
- Un conjunto de p vectores linealmente independientes: $$ \{ w_1, w_2, \dots, w_p \} $$
Según el teorema sobre independencia lineal, cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en V tiene como máximo tantos elementos como cualquier conjunto generador del mismo espacio.
Por tanto:
$$ p \le n $$
Pero como {v1,...,vn} también es una base, y por tanto un conjunto generador, y {w1,...,wp} es una base, es decir, también genera V, debe cumplirse también:
$$ n \le p $$
Juntando ambas desigualdades:
$$ \begin{cases} p \le n \\ \\ n \le p \end{cases} \Longleftrightarrow n = p $$
En conclusión, ambas bases tienen el mismo número de elementos: n = p.
Corolarios
Corolario 1
Si un espacio vectorial V tiene dimensión n, entonces basta encontrar n vectores linealmente independientes para obtener una base de V.
Corolario 2
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo K, entonces un subespacio W ⊆ V tiene dimensión n si y solo si W = V.
$$ \text{dim}(W) = \text{dim}(V) \:\: \text{si y solo si} \:\: W = V $$
Demostración
Sea W un subespacio de V:
$$ W \subseteq V $$
$$ \text{dim}_K(W) = m $$
$$ \text{dim}_K(V) = n $$
Por el teorema de dependencia lineal, se tiene m ≤ n.
Si además m = n, entonces W posee una base de n vectores linealmente independientes:
$$ B_W = \{ v_1, \dots, v_n \} $$
Como W está contenido en V, todos los vectores de BW también pertenecen a V:
$$ B_W \subseteq V $$
Esto significa que BW es también una base de V. Pero una misma base no puede generar un subespacio propio y el espacio entero a la vez, a menos que coincidan:
$$ W = V $$
Por tanto, un subespacio W tiene dimensión n si y solo si coincide con V.
Corolario 3 (Codimensión)
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, de dimensión n, y W ⊆ V un subespacio de dimensión m. La codimensión de W en V se define como la diferencia entre sus dimensiones:
$$ \text{codim}_K(W) = \text{dim}_K(V) - \text{dim}_K(W) = n - m $$
Corolario 4 (Teorema de Grassmann)
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y sean A y B dos subespacios de V. En general, se cumple:
$$ \text{dim}_K(A + B) = \text{dim}_K(A) + \text{dim}_K(B) - \text{dim}_K(A \cap B) $$
Esta fórmula no se aplica si A y B están en suma directa, ya que en ese caso la intersección es trivial.
Corolario 5
El número de vectores de una base depende únicamente del espacio vectorial y no de la base concreta elegida.
Y así sucesivamente.
