Demostración del Teorema sobre las Bases de los Espacios Vectoriales (3)

En un espacio vectorial $V$ cuya dimensión es conocida, $\dim(V) = n$, si un conjunto de vectores $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ genera el espacio, entonces dicho conjunto es necesariamente una base de $V$.

Demostración

Partimos del supuesto de que la dimensión del espacio vectorial es conocida: dimensión del espacio vectorial

$$ \dim(V) = n $$

Por definición, toda base de $V$ está constituida por exactamente $n$ vectores linealmente independientes.

Nota. Una base es, por definición, un conjunto generador cuyos vectores son linealmente independientes.

En este caso, se nos indica que el conjunto $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ es un conjunto generador de $V$.

De acuerdo con un teorema previamente demostrado, si un conjunto generador contiene $s > n$ vectores, es posible obtener una base eliminando los $s - n$ vectores que resulten linealmente dependientes.

En este caso, sin embargo, el conjunto generador contiene exactamente $n$ vectores, es decir, $s = n$.

Por tanto, no es posible eliminar ningún vector sin perder la capacidad de generar todo el espacio.

Nota. Eliminar un solo vector produciría un conjunto de $n - 1$ elementos, que ya no sería generador de $V$, ya que tendría dimensión estrictamente menor.

De ello se deduce que el conjunto generador $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ debe ser linealmente independiente, ya que contiene exactamente el número de vectores requerido para formar una base en un espacio de dimensión $n$.

En consecuencia, dicho conjunto no solo genera el espacio, sino que constituye una base de $V$.

Q.E.D.