Demostración del teorema sobre las bases de un espacio vectorial (1)
En un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$, cualquier conjunto generador $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$ permite extraer una base del espacio eliminando los vectores linealmente dependientes.
Demostración
Sea $V$ un espacio vectorial tal que:
$$ \dim V = n $$
Por definición, toda base de $V$ está compuesta por exactamente $n$ vectores.
Supongamos que disponemos de un conjunto generador formado por $p$ vectores:
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_p \} $$
Dado que el conjunto es generador, necesariamente se cumple:
$$ p \ge n $$
Queremos determinar si este conjunto es también una base de $V$. Para ello, analizamos si los vectores son linealmente independientes.
- Si $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$ es linealmente independiente, entonces constituye una base de $V$ y, por tanto, $p = n$. En este caso, la demostración ha concluido.
- Si no lo es, existe al menos un vector que puede expresarse como combinación lineal de los demás.
Sin pérdida de generalidad, reordenamos el conjunto de forma que el vector dependiente ocupe la última posición. Escribimos entonces:
$$ v_p = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_{p-1} \vec{v}_{p-1} $$
Como el conjunto $\{v_1, \dots, v_p\}$ genera $V$, cualquier vector $\vec{v} \in V$ puede escribirse como:
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_{p-1} \vec{v}_{p-1} + \lambda_p \vec{v}_p $$
Sustituimos $v_p$ en la expresión anterior:
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \dots + \lambda_{p-1} \vec{v}_{p-1} + \lambda_p (\alpha_1 \vec{v}_1 + \dots + \alpha_{p-1} \vec{v}_{p-1}) $$
$$ = (\lambda_1 + \lambda_p \alpha_1)\vec{v}_1 + \dots + (\lambda_{p-1} + \lambda_p \alpha_{p-1}) \vec{v}_{p-1} $$
Por tanto, el conjunto $\{v_1, v_2, \dots, v_{p-1}\}$ también genera $V$, ya que permite expresar cualquier vector del espacio.
Verificamos ahora si estos $p - 1$ vectores son linealmente independientes:
- Si lo son, constituyen una base y necesariamente $p - 1 = n$.
- Si no lo son, eliminamos otro vector dependiente y repetimos el procedimiento.
Este proceso se repite de manera finita, ya que en cada paso se reduce el número de vectores del conjunto generador, hasta obtener un subconjunto de $n$ vectores linealmente independientes:
$$ \{ v_1, v_2, \dots, v_n \} $$
Este conjunto forma una base de $V$, puesto que cumple simultáneamente las dos condiciones necesarias: genera todo el espacio y sus vectores son linealmente independientes.
Q.E.D.
