Ejercicio sobre Bases de Espacios Vectoriales 1
En el espacio vectorial $V = \mathbb{R}^3$, encuentra una base que contenga los vectores $v_1 = (2, -1, 0)$ y $v_2 = (1, 1, 3)$.
Solución
Los vectores dados son:
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Estos dos vectores son linealmente independientes, ya que ninguno es un múltiplo escalar del otro; esto se puede comprobar visualmente, sin necesidad de cálculos formales.
La dimensión del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ es:
$$ \dim V = 3 $$
Por tanto, cualquier base de $V$ debe estar compuesta por tres vectores linealmente independientes.
Aunque $v_1$ y $v_2$ son independientes, no generan todo el espacio $\mathbb{R}^3$, por lo que aún no constituyen una base.
Para completarla, debemos añadir un tercer vector que sea linealmente independiente de los dos anteriores.
Una elección conveniente es el vector canónico $v_3 = (1, 0, 0)$:
$$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Consideramos ahora el conjunto:
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \} $$
Para verificar si este conjunto forma una base, comprobamos que los tres vectores son linealmente independientes, es decir, que la única solución de
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 = \vec{0} $$
es la trivial: $k_1 = k_2 = k_3 = 0$.
Sustituimos los vectores en la ecuación:
$$ k_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Obtenemos el siguiente sistema:
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ -k_1 + k_2 = 0 \\ 3k_2 = 0 \end{cases} $$
De la tercera ecuación se deduce:
$$ k_2 = 0 $$
Sustituyendo en la segunda:
$$ -k_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad k_1 = 0 $$
Y en la primera:
$$ k_3 = 0 $$
La única solución posible es:
$$ k_1 = k_2 = k_3 = 0 $$
Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
Dado que el espacio es de dimensión 3, cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes forma automáticamente una base.
Concluimos, entonces, que el conjunto $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}$ es una base válida del espacio vectorial $V$:
$$ B_V = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \} $$
Nota: No es necesario comprobar explícitamente si el conjunto genera $\mathbb{R}^3$. En un espacio de dimensión finita, cualquier conjunto de $n$ vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión $n$ constituye automáticamente una base.
