Espacios métricos: metrizabilidad y homeomorfismos

Si un espacio topológico \( X \) es metrizable y \( Y \) es homeomorfo a \( X \), entonces \( Y \) también es metrizable.

Dicho de otro modo, la metrizabilidad es una propiedad que se preserva bajo homeomorfismos.

Esto significa que, si un espacio \( X \) es metrizable, cualquier espacio topológicamente equivalente a él - es decir, homeomorfo - también lo será.

Así pues, si ya sé que un espacio \( X \) es metrizable y encuentro otro espacio \( Y \) homeomorfo a \( X \), no es necesario construir explícitamente una métrica sobre \( Y \): puedo afirmar directamente que \( Y \) es metrizable.

Explicación

Un espacio topológico \( X \) es metrizable si existe una métrica \( d \) que induce su topología. En otras palabras, la topología de \( X \) puede describirse completamente a partir de una distancia.

Un homeomorfismo es una función biyectiva entre dos espacios topológicos \( X \) y \( Y \) que es continua y cuya inversa también es continua. Este tipo de correspondencia preserva la estructura topológica, lo que implica que \( X \) y \( Y \) comparten todas sus propiedades topológicas esenciales.

Si \( X \) posee una métrica \( d \) que genera su topología, entonces el espacio \( Y \), al ser homeomorfo a \( X \), también puede dotarse de una métrica compatible con su topología. Esta métrica puede obtenerse a partir de la métrica original en \( X \) mediante el homeomorfismo.

En resumen, si un espacio es metrizable, todos los espacios topológicamente equivalentes a él también lo son, ya que la metrizabilidad es una propiedad invariante bajo homeomorfismos.

Ejemplo práctico

Consideremos la recta real \( \mathbb{R} \) con su topología usual inducida por la distancia euclídea, y el intervalo abierto \( (-1, 1) \).

Sabemos que \( \mathbb{R} \) es un espacio metrizable con la métrica estándar \( d(x, y) = |x - y| \).

Definamos la función \( f : \mathbb{R} \to (-1,1) \) mediante \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \). Esta función es un homeomorfismo: es continua, biyectiva, y su inversa también es continua. En efecto, \( f \) aplica la recta real sobre el intervalo abierto \( (-1,1) \) de forma suave y sin alterar la estructura topológica.

Como \( f \) es un homeomorfismo, preserva la topología. Por tanto, dado que \( \mathbb{R} \) es metrizable, el intervalo \( (-1,1) \), al ser homeomorfo a ella, también lo es. De hecho, este intervalo es metrizable con la misma métrica euclídea restringida a \( (-1,1) \).

Y así sucesivamente.