Espacio Topológico Metrizable

Un espacio metrizable es un espacio topológico $ X $ en el que existe una métrica $ d $ que induce la topología sobre $ X $.

Una métrica $ d $ en un conjunto $ X $ es una función $ d: X \times X \to [0, \infty) $ que cumple las siguientes propiedades: no negatividad, simetría, desigualdad triangular y que $ d(x, y) = 0 $ si, y solo si, $ x = y $.

La topología inducida por $ d $ se define de modo que los abiertos son uniones arbitrarias de bolas abiertas, que tienen la forma $ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $, donde $ r > 0 $ es el radio.

Dicho de otro modo, un espacio topológico $ X $ es metrizable si existe una métrica $ d $ tal que la familia de bolas abiertas definidas por $ d $ genera exactamente la topología de $ X $.

Nota: Esto implica que todos los abiertos de la topología de $ X $ pueden expresarse como uniones (posiblemente infinitas) de bolas abiertas definidas por la métrica $ d $.

Por ejemplo, se sabe que una topología que no sea de Hausdorff no puede provenir de una métrica. Por tanto, no todo espacio topológico es metrizable.

Ejemplo Práctico
Notas

Ejemplo Práctico

Consideremos la recta real $ \mathbb{R} $ con su topología usual.

En esta topología, los conjuntos abiertos son uniones arbitrarias de intervalos abiertos $ (a, b) $, donde $ a, b \in \mathbb{R} $ y $ a < b $.

Definimos la métrica estándar de $ \mathbb{R} $ de la siguiente forma:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Es decir, se trata de la distancia absoluta entre los puntos $ x $ y $ y $ sobre la recta real.

Con esta métrica, una bola abierta de centro $ x $ y radio $ r $ se corresponde con el intervalo abierto:

$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$

Este intervalo es un conjunto abierto en la topología usual.

Como todo abierto en la topología de $ \mathbb{R} $ puede escribirse como unión de intervalos abiertos, y estos coinciden con las bolas abiertas generadas por la métrica $ d(x, y) $, concluimos que $ \mathbb{R} $, con su topología habitual, es un espacio metrizable.

Ejemplo 2

Consideremos ahora un conjunto cualquiera $ X $ (finito o infinito) con la topología discreta.

En esta topología, todo subconjunto de $ X $ es abierto.

Definimos la siguiente métrica $ d $ sobre $ X $:

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{si } x = y, \\
1 & \text{si } x \neq y.
\end{cases}
$$

Esta se denomina métrica discreta.

Analicemos ahora si este espacio es metrizable.

Con esta métrica, una bola abierta de radio $ r $ centrada en un punto $ x $ es:

Si $ r \leq 1 $, $ B_r(x) = \{ x \} $
Explicación: Cuando $ r \leq 1 $, la única condición que cumple $ d(x, y) < r $ es que $ d(x, y) = 0 $, lo que implica que $ y = x $. En ese caso, la bola abierta está formada solo por el punto central $ x $.
Si $ r > 1 $, $ B_r(x) = X $.
Explicación: Cuando $ r > 1 $, tanto $ d(x, y) = 0 $ (cuando $ x = y $) como $ d(x, y) = 1 $ (cuando $ x \neq y $) satisfacen $ d(x, y) < r $. Por tanto, todos los puntos de $ X $ están incluidos en la bola, es decir, $ B_r(x) = X $.

Los conjuntos $ \{ x \} $ y $ X $ son abiertos en la topología discreta.

Dado que cualquier abierto en esta topología puede expresarse como unión de bolas abiertas de la métrica discreta, se concluye que $ X $, con la topología discreta, también es un espacio metrizable.

En este caso, al igual que en el anterior, la métrica describe con precisión la estructura topológica del espacio.

Notas

Algunas observaciones adicionales sobre los espacios metrizables:

Si un espacio topológico $ X $ es metrizable y $ Y $ es homeomorfo a $ X $, entonces $ Y $ también es metrizable.
Este resultado nos dice que la metrizabilidad es una propiedad topológica: se conserva bajo homeomorfismos. En consecuencia, si sé que un espacio $ X $ es metrizable y otro espacio $ Y $ es homeomorfo a él, no es necesario construir explícitamente una métrica para $ Y $; basta con concluir que también es metrizable.
Teorema de Metrización de Urysohn
Un espacio topológico es metrizable si es regular y posee una base numerable. Este teorema proporciona un criterio fundamental para determinar cuándo es posible definir una métrica compatible con una determinada topología.