Espacio Métrico

¿Qué es un espacio métrico?

Un espacio métrico es un par $ (X, d) $, donde $ X $ es un conjunto y $ d $ es una función (llamada métrica) que asigna un número real no negativo a cada par de puntos $ x, y \in X $, denotado por $ d(x, y) $, y que representa la distancia entre $ x $ y $ y $. Esta estructura se suele denotar como $ (X, d) $. $$ (X,d) $$

Para que una función sea una métrica, debe cumplir las siguientes propiedades:

No negatividad: $ d(x, y) \geq 0 $ para todo $ x, y \in X $, y $ d(x, y) = 0 $ si y solo si $ x = y $; es decir, la distancia de un punto a sí mismo es cero, y entre puntos distintos es siempre estrictamente positiva.
Simetría: $ d(x, y) = d(y, x) $ para todo $ x, y \in X $; la distancia no depende del orden de los puntos.
Desigualdad triangular: $ d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) $ para todos los $ x, y, z \in X $; la distancia directa entre dos puntos nunca supera la suma de las distancias intermedias a través de un tercero.

En términos simples, un espacio métrico nos proporciona una estructura matemática con la que podemos medir distancias dentro de un conjunto, lo cual permite desarrollar rigurosamente nociones fundamentales como continuidad, convergencia o compacidad.

Dicho de otro modo, un espacio métrico es simplemente un conjunto X dotado de una función de distancia d.

Este conjunto puede ser tan elemental como un conjunto discreto de puntos o tan sofisticado como un espacio vectorial de dimensión infinita.

Un ejemplo práctico
La función de distancia o métrica
Distancia inducida por una norma
Observaciones adicionales

Un ejemplo práctico

Uno de los ejemplos más conocidos de espacio métrico es el espacio euclídeo en $ \mathbb{R}^n $, es decir, el conjunto de puntos del plano (cuando $ n = 2 $) o del espacio tridimensional (cuando $ n = 3 $).

Consideremos $ \mathbb{R}^2 $, el plano cartesiano.

La métrica euclídea $ d $ se define, para dos puntos $ p = (p_1, p_2) $ y $ q = (q_1, q_2) $, como:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

Esta expresión representa la distancia euclídea, es decir, la distancia más corta entre dos puntos $ p $ y $ q $ en línea recta dentro del plano.

Esta métrica cumple rigurosamente las condiciones necesarias:

No negatividad: La raíz cuadrada de una suma de cuadrados es siempre mayor o igual que cero, y vale cero únicamente cuando $ p = q $.
Simetría: Como $ (p_1 - q_1)^2 = (q_1 - p_1)^2 $, se tiene que $ d(p, q) = d(q, p) $.
Desigualdad triangular: Puede verificarse fácilmente usando el teorema de Pitágoras y otras propiedades básicas de la geometría clásica.

Así pues, el espacio $ (\mathbb{R}^2, d) $, donde $ d $ es la distancia euclídea, constituye un ejemplo canónico de espacio métrico.

La función de distancia o métrica

¿Qué se entiende por función de distancia?

La distancia (o métrica) es una función $ d(x_1, x_2) $ que satisface las siguientes condiciones:

$ d(x_1, x_2) \geq 0 $
$ d(x_1, x_2) = 0 $ si y solo si $ x_1 = x_2 $
$ d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) $
$ d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) $

para todo $ x_1, x_2, x_3 \in X $.

Tipos de distancia

No existe una única forma de definir una distancia; hay diversas métricas según el contexto.

Distancia euclídea

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

Es la más habitual y constituye el fundamento de la geometría euclídea.

Distancia Manhattan

También conocida como “distancia en damero”, es característica de geometrías urbanas con calles en cuadrícula, como la de Manhattan, donde el desplazamiento se limita a movimientos horizontales y verticales, sin diagonales.

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

Distancia discreta

En esta métrica, la distancia entre dos puntos es 1 siempre que sean distintos, y 0 si coinciden.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: si \: x = y \\ 1 \:\:\: si \: x \ne y \end{cases} $$

Distancia inducida por una norma

Una norma define siempre una función de distancia.

En estos casos, la distancia se denomina distancia inducida.

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

La norma de un vector se interpreta como su distancia al origen.

Por tanto, si un espacio vectorial está provisto de una norma, se convierte automáticamente en un espacio métrico.

Nota. No obstante, la recíproca no es válida en general: no toda métrica proviene de una norma.

Propiedades de una distancia inducida

Una distancia se dice inducida por una norma si cumple las siguientes propiedades:

$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $
$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $

Donde $ v_1, v_2, v_3 $ son vectores en un espacio vectorial $ V $, y $ k $ es un escalar $ k \in K $.

Ejemplo

Con esta definición es sencillo verificar que la norma euclídea induce la distancia euclídea, ya que satisface ambas condiciones.

Consideremos tres vectores $ v_1, v_2, v_3 $ en el espacio euclídeo:

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

Sus respectivas normas son:

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

Por tanto, sus distancias inducidas al origen son:

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_v) = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_v) = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_v) = 3 $$

Según la definición, se cumple que $$ ||v|| = d(v, 0_v) $$ si se verifican las siguientes propiedades:
1] $ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $
2] $ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $

Verifiquemos ambas condiciones.

Primera condición

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$ $$ d(10 + 3, 5 + 3) = d(10, 5) $$ $$ d(13, 8) = d(10, 5) $$

Calculamos la distancia en el primer miembro:

$$ d(13, 8) = \sqrt{(13 - 8)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Y en el segundo miembro:

$$ d(10, 5) = \sqrt{(10 - 5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Concluimos que:

$$ d(13, 8) = d(10, 5) = 5 $$

La primera propiedad se cumple.

Segunda condición

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$ $$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) $$

Tomando $ k = 2 $:

$$ d(20, 10) = |2| \cdot d(10, 5) $$

Evaluamos:

$$ d(20, 10) = \sqrt{(20 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

$$ |2| \cdot d(10, 5) = 2 \cdot \sqrt{(10 - 5)^2} = 2 \cdot 5 = 10 $$

Luego,

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) = 10 \:\:\: con \:\: k = 2 $$

También se satisface la segunda propiedad.

Hemos demostrado, por tanto, que en el espacio euclídeo la métrica está inducida por la norma.

Observaciones adicionales

A continuación, se presentan algunas observaciones relevantes sobre los espacios métricos:

Conjunto acotado en un espacio métrico
Sea $(X, d)$ un espacio métrico. Un subconjunto $A \subseteq X$ se dice acotado si existe un número real positivo $\mu > 0$ y un punto fijo $x_0 \in X$ tal que: $$ d(x, x_0) \leq \mu \quad \text{para todo } x \in A $$ Es decir, todos los elementos de $A$ están contenidos en una bola (abierta o cerrada) de radio finito centrada en $x_0$.
En la topología inducida por $d$, el hecho de que un conjunto sea acotado no depende de su apertura o clausura, sino exclusivamente de las distancias entre sus puntos.
Métrica acotada
Si todo el espacio $X$ es acotado, se dice que la métrica $d$ es una métrica acotada.
Teorema de la base para la topología inducida por una métrica
En un espacio métrico $(X, d)$, la familia de bolas abiertas $ \mathcal{B} $ constituye una base para la topología en $X$: $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$
Teorema de la continuidad en espacios métricos
Una función $f : X \to Y$ entre dos espacios métricos $(X, d_X)$ y $(Y, d_Y)$ es continua si, para todo $x \in X$ y para cada $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que si $x'$ es otro punto en $X$ y se cumple: $$ d_X(x, x') < \delta $$ entonces sus imágenes también cumplen: $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$
Todo espacio métrico es un espacio de Hausdorff
Todo espacio métrico es necesariamente de Hausdorff. Inversamente, un espacio topológico que no sea de Hausdorff no puede provenir de una métrica.
Nota: Un espacio es de Hausdorff si, dados dos puntos distintos, existen entornos abiertos disjuntos que los contienen respectivamente.

Y así sucesivamente.