Descomposición de un espacio vectorial

La descomposición de un espacio vectorial consiste en expresar cada uno de sus elementos como suma de vectores pertenecientes a dos subespacios vectoriales.

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sean A y B dos subespacios de V. Si se cumple que A + B = V, entonces todo vector $v \in V$ puede escribirse como

$$ v = a + b \quad \text{con } a \in A,\; b \in B. $$

$$ \text{Si } A + B = V $$
$$ \text{entonces } \forall v \in V\;\exists\; a \in A,\; b \in B\;:\; a + b = v $$

Esta descomposición es única si los subespacios A y B son subespacios complementarios:
$$ A \oplus B = V $$

Demostración

Unicidad de la descomposición

Supongamos, por reducción al absurdo, que la descomposición no es única, aunque A y B sean subespacios complementarios.

Sea $v \in V$ un vector arbitrario. Supongamos que existen dos descomposiciones distintas:

$$ v = a + b = a' + b' $$

con $a, a' \in A$ y $b, b' \in B$.

Igualando las dos expresiones obtenemos:

$$ a + b = a' + b' $$

Restando ambos lados:

$$ (a - a') = (b' - b) $$

El miembro izquierdo pertenece a A, el derecho a B. Por tanto:

$$ a - a' \in A \quad \text{y} \quad b' - b \in B $$

Entonces $(a - a') \in A \cap B$.

Dado que A y B son subespacios complementarios, su intersección es trivial:

$$ A \cap B = \{0\} $$

Por lo tanto:

$$ a - a' = 0 \quad \Rightarrow \quad a = a' $$

$$ b - b' = 0 \quad \Rightarrow \quad b = b' $$

Concluimos así que ambas descomposiciones coinciden: los vectores que las componen son los mismos.

Esto demuestra que, bajo la condición $A \oplus B = V$, la descomposición es única.