Ejercicio 1: Subespacio vectorial

Sea $V = \mathbb{R}^2$. Queremos determinar si el siguiente subconjunto $W$ es un subespacio vectorial de $V$: $$ W = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x - 2y = 0 \} $$

Para ello, verificaremos si $W$ satisface las propiedades que definen a los subespacios vectoriales.

1) El vector nulo pertenece a W

Consideremos un vector arbitrario $\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ en $W$. Por definición,

$$ \vec{w} \in W \quad \Leftrightarrow \quad 3x - 2y = 0 $$

Comprobemos si el vector nulo pertenece a $W$:

$$ 3(0) - 2(0) = 0 $$

Como la igualdad se verifica, el vector nulo $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ pertenece a $W$.

Nota. Comprobar la pertenencia del vector nulo es siempre el primer paso. Si no pertenece al conjunto, este no puede ser un subespacio, y no es necesario analizar las demás propiedades.

2) Cerradura respecto de la suma vectorial

Sean $\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ y $\vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ dos vectores cualesquiera en $W$. Entonces:

$$ 3x_1 - 2y_1 = 0 \quad \text{y} \quad 3x_2 - 2y_2 = 0 $$

Veamos si su suma también pertenece a $W$:

$$ 3(x_1 + x_2) - 2(y_1 + y_2) = (3x_1 - 2y_1) + (3x_2 - 2y_2) = 0 + 0 = 0 $$

Por tanto, $\vec{w}_1 + \vec{w}_2 \in W$, lo que demuestra que $W$ es cerrado bajo la suma de vectores.

3) Cerradura respecto de la multiplicación escalar

Sea $\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in W$, con $3x - 2y = 0$, y sea $\lambda \in \mathbb{R}$ un escalar cualquiera.

Comprobemos si $\lambda \vec{w}$ también pertenece a $W$:

$$ 3(\lambda x) - 2(\lambda y) = \lambda (3x - 2y) = \lambda \cdot 0 = 0 $$

Por consiguiente, $\lambda \vec{w} \in W$, lo que confirma la cerradura bajo la multiplicación escalar.

Como $W$ contiene el vector nulo y es cerrado tanto bajo la suma vectorial como bajo la multiplicación por escalares, concluimos que $W$ es un subespacio vectorial de $V$.

Q.E.D.