Ejercicio 2: Subespacio vectorial

Sea $V = \mathbb{R}^2$ un espacio vectorial real bidimensional, y consideremos el subconjunto: $$ W = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x - 2y = 3 \} $$ Nuestro objetivo es determinar si $W$ constituye un subespacio vectorial de $V$.

Para ello, debemos comprobar si $W$ satisface los axiomas de un espacio vectorial y, en particular, las condiciones específicas que caracterizan a un subespacio vectorial.

Verificación del vector nulo

La condición que define a los elementos de $W$ es:

$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in W \quad \Leftrightarrow \quad x - 2y = 3 $$

Comenzamos comprobando si el vector nulo pertenece a $W$.

Al sustituir $x = 0$ e $y = 0$ en la ecuación, obtenemos:

$$ x - 2y = 3 \quad \Rightarrow \quad 0 - 0 = 0 \quad \neq \quad 3 $$

Dado que la igualdad no se cumple, el vector nulo $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ no pertenece a $W$.

Esto contradice una de las propiedades esenciales de cualquier espacio vectorial: la existencia del elemento neutro (vector nulo).

Nota. Si un conjunto no contiene el vector nulo, entonces no puede ser un espacio vectorial, y por tanto tampoco un subespacio.

En consecuencia, no es necesario verificar las demás propiedades. Podemos concluir directamente que $W$ no es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$.

Con esto finaliza el ejercicio.

Y así sucesivamente.