Ejercicio 4: Subespacio Vectorial

Sea $V = \mathbb{R}^2$, y consideremos el subconjunto: $$ W = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0,\ y \ge 0 \} $$ Se nos pide determinar si $W$ constituye un subespacio vectorial de $V$.

Este conjunto corresponde al primer cuadrante del plano cartesiano, es decir, a todos los puntos cuyas coordenadas son no negativas.

Para que $W$ sea un subespacio, debe cumplir con tres condiciones fundamentales: contener el vector nulo, ser cerrado bajo la suma de vectores y bajo la multiplicación por escalares.

1) El vector nulo

Comenzamos verificando si el vector nulo pertenece a $W$:

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in W $$

Dado que esta condición se cumple, no podemos descartar que $W$ sea un subespacio.

Nota. Comprobar si el vector nulo pertenece al conjunto es siempre el primer paso lógico. Si no estuviera incluido, $W$ no podría ser un espacio vectorial - ni un subespacio - y el análisis se detendría aquí.

2) Cerradura bajo la suma de vectores

Consideremos dos vectores arbitrarios en $W$:

$$ \vec{w}_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \quad \vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}, \quad \text{con } x_1, x_2 \ge 0 \text{ y } y_1, y_2 \ge 0 $$

Su suma es:

$$ \vec{w}_1 + \vec{w}_2 = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} $$

Como la suma de números reales no negativos sigue siendo no negativa, tenemos:

$$ x_1 + x_2 \ge 0, \quad y_1 + y_2 \ge 0 $$

Por lo tanto, $\vec{w}_1 + \vec{w}_2 \in W$, lo que demuestra que $W$ es cerrado bajo la suma.

3) Cerradura bajo la multiplicación por escalares

Sea ahora $\vec{w} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in W$ y $k \in \mathbb{R}$ un escalar arbitrario.

Entonces:

$$ k \vec{w} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} $$

Para que $k \vec{w}$ pertenezca a $W$, ambas componentes deben ser no negativas:

$$ kx \ge 0, \quad ky \ge 0 $$

Esto solo se cumple si $k \ge 0$. Si $k < 0$ y $\vec{w} \ne \vec{0}$, al menos una de las componentes será negativa, por lo que $k \vec{w} \notin W$.

En consecuencia, $W$ no es cerrado bajo la multiplicación por escalares, lo cual viola uno de los requisitos esenciales para ser un subespacio.

Concluimos entonces que $W$ no es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^2$.

Con esto, damos por terminado el ejercicio.