Teorema de continuidad en espacios métricos

Este teorema establece el vínculo entre la continuidad de una función entre espacios métricos y la definición épsilon-delta.

Una función $f$ entre dos espacios métricos $(X, d_X)$ y $(Y, d_Y)$ es continua si cumple las siguientes condiciones:

Se toma un punto $x \in X$ y se elige un valor positivo pequeño $\varepsilon > 0$, que indica cuán próximos deben estar los valores de $f$.
Existe entonces un valor $\delta > 0$, también positivo, que determina qué tan cerca se puede estar de $x$ dentro del espacio $X$.
Si un punto $x'$ está suficientemente próximo a $x$ —es decir, si la distancia entre $x$ y $x'$, según $d_X$, es menor que $\delta$: $$ d_X < \delta $$ entonces los valores $f(x)$ y $f(x')$ estarán también próximos en $Y$, con una distancia, medida por $d_Y$, menor que $\varepsilon$: $$ d_Y < \varepsilon $$

En términos sencillos, esto formaliza la idea de que una función continua no presenta saltos bruscos: pequeños desplazamientos en el dominio ($X$) provocan variaciones igualmente pequeñas en la imagen ($Y$).

A esta caracterización se la conoce comúnmente como la “definición épsilon-delta de continuidad en espacios métricos” o la “equivalencia entre continuidad y propiedad épsilon-delta en espacios métricos”.

Es, en esencia, el mismo concepto de continuidad que se introduce en Cálculo I, pero formulado dentro del marco más general de los espacios métricos.

Nota: La definición de continuidad que se enseña en Cálculo I, centrada en funciones de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R}^n$, constituye un caso particular de esta definición general. En ese contexto, una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua en un punto $x \in \mathbb{R}$ si, para todo $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que si $|x - x'| < \delta$, entonces $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$. En este caso se emplean las métricas estándar: $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ La definición general, sin embargo, es aplicable a funciones entre cualquier par de espacios métricos. La idea subyacente se mantiene: “cambios pequeños en la entrada implican cambios pequeños en la salida”.

Un ejemplo ilustrativo
La demostración

Un ejemplo ilustrativo

Consideremos dos espacios métricos:

Dominio: $X = \mathbb{R}$, con la métrica estándar $d_X(x, x') = |x - x'|$.
Codominio: $Y = \mathbb{R}$, también con la métrica estándar $d_Y(y, y') = |y - y'|$.

Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por:

$$ f(x) = 2x $$

Verificaremos que $f(x) = 2x$ es continua utilizando tanto la definición topológica (conjuntos abiertos) como la definición épsilon-delta, demostrando su equivalencia tal como afirma el teorema.

1] Continuidad mediante conjuntos abiertos

En la topología inducida por la métrica estándar, un conjunto $V \subseteq Y$ es abierto si, para cada $y \in V$, existe un $\varepsilon > 0$ tal que la bola abierta $B_Y(y, \varepsilon) = \{y' \in Y \mid |y - y'| < \varepsilon\}$ está contenida en $V$.

Sea $V \subseteq Y$ un conjunto abierto. La preimagen $f^{-1}(V)$ se define como:

$$ f^{-1}(V) = \{x \in X \mid f(x) \in V\} $$

Como $f(x) = 2x$:

$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

Para cada $y \in V$, existe un $\varepsilon > 0$ tal que $B_Y(y, \varepsilon) \subseteq V$.

Esto implica que, para todo $x \in f^{-1}(V)$, existe un $\delta = \varepsilon / 2$ tal que la bola abierta $B_X(x, \delta)$ queda contenida por completo en $f^{-1}(V)$.

Por lo tanto, la preimagen de cualquier conjunto abierto de $Y$ es también un conjunto abierto en $X$, lo cual demuestra que $f(x) = 2x$ es continua en sentido topológico.

2] Continuidad mediante la definición épsilon-delta

Sea $x \in X$ y $\varepsilon > 0$. Buscamos un $\delta > 0$ tal que si $|x - x'| < \delta$, entonces $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$.

$$ f(x) = 2x \quad \text{y} \quad f(x') = 2x' \quad \Rightarrow $$

$$ |f(x) - f(x')| = |2x - 2x'| = 2|x - x'| $$

Para asegurar que $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$, basta elegir:

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

Así, si $|x - x'| < \delta$, se tiene $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$, lo cual confirma la continuidad de $f$ según la definición épsilon-delta.

3] Conclusión

De este ejemplo podemos concluir que:

La continuidad de $f(x) = 2x$ garantiza que la preimagen de todo conjunto abierto es abierta.
Las definiciones topológica y épsilon-delta de continuidad son equivalentes, como lo demuestra esta correspondencia directa.

La demostración

Queremos establecer la equivalencia entre dos caracterizaciones de continuidad para una función $f : X \to Y$, siendo $X$ y $Y$ espacios métricos:

Definición mediante conjuntos abiertos: $f$ es continua si para todo conjunto abierto $U \subseteq Y$, la preimagen $f^{-1}(U)$ es abierta en $X$.
Definición mediante entornos: Para todo $x \in X$ y todo conjunto abierto $U \subseteq Y$ que contiene a $f(x)$, existe un entorno $V$ de $x$ en $X$ tal que $f(V) \subseteq U$.

1] De la definición con conjuntos abiertos a la definición con entornos

Supongamos que $f$ es continua según la definición con conjuntos abiertos, es decir, que $f^{-1}(U)$ es abierta en $X$ para todo $U \subseteq Y$ abierto.

Sea $x \in X$ y $U \subseteq Y$ un conjunto abierto tal que $f(x) \in U$.

Como $f^{-1}(U)$ es abierto, existe un entorno $V$ de $x$ en $X$ tal que $V \subseteq f^{-1}(U)$.

Esto implica que $f(V) \subseteq U$, lo que verifica la definición mediante entornos.

2] De la definición con entornos a la definición con conjuntos abiertos

Supongamos que para todo $x \in X$ y todo conjunto abierto $U \subseteq Y$ que contiene a $f(x)$, existe un entorno $V$ de $x$ en $X$ tal que $f(V) \subseteq U$.

Para demostrar que $f^{-1}(W)$ es abierto en $X$ para todo conjunto abierto $W \subseteq Y$, tomemos un punto $x \in f^{-1}(W)$, lo que implica que $f(x) \in W$.

Como $W$ es abierto y contiene a $f(x)$, por hipótesis existe un entorno $V$ de $x$ tal que $f(V) \subseteq W$.

Entonces $V \subseteq f^{-1}(W)$, lo que demuestra que $f^{-1}(W)$ es abierto en $X$.

Hemos demostrado así que una función $f : X \to Y$ es continua en el sentido de los conjuntos abiertos si, y solo si, cumple la definición mediante entornos.

Y así sucesivamente.