El teorema de metrización de Urysohn

Un espacio topológico es metrizable si es regular y tiene una base numerable.

En otras palabras, cuando un espacio topológico regular puede describirse con una base numerable de conjuntos abiertos, existe una métrica que reproduce exactamente la misma estructura topológica. Es decir, podemos medir distancias sin alterar la forma fundamental del espacio.

• Un espacio es regular cuando, para cada punto y para cualquier conjunto cerrado que no lo contiene, existen dos conjuntos abiertos disjuntos que los separan. Dicho de manera intuitiva, es posible “mantener separados” los puntos y los conjuntos cerrados mediante entornos abiertos adecuados.
• Un espacio tiene una base numerable si puede describirse a partir de una colección numerable de conjuntos abiertos. Es como tener un número finito o contable de piezas básicas con las que se construye toda la topología.

Si un espacio cumple ambas condiciones - es regular y tiene una base numerable - entonces puede representarse mediante una función de distancia.

Importante: El recíproco no es cierto. Que un espacio sea metrizable no implica necesariamente que tenga una base numerable ni que sea regular. El teorema de Urysohn nos dice cuándo puede existir una métrica, pero no que toda métrica respete siempre las mismas propiedades topológicas.

¿Qué nos enseña el teorema?

El teorema de Urysohn nos muestra en qué condiciones un espacio topológico puede “traducirse” a un lenguaje métrico. Permite pasar de conceptos abstractos - como los conjuntos abiertos o cerrados - a una noción concreta de distancia.

La topología no siempre empieza midiendo distancias: a veces solo sabemos qué conjuntos son abiertos, y con esa información basta para determinar toda la estructura del espacio.

La gran pregunta es: ¿cuándo puede una topología representarse con una métrica? O, dicho de otro modo, ¿cuándo existe una función $ d(x,y) $ que mida distancias de forma coherente con la topología?

Urysohn respondió con precisión: un espacio es metrizable si cumple estas dos condiciones:

• Regularidad: para cada punto y cada conjunto cerrado disjunto, existen conjuntos abiertos que los separan.
• Base numerable: existe una familia numerable de conjuntos abiertos que genera toda la topología.

Cuando ambas se cumplen, el espacio puede describirse completamente mediante una métrica. Esto es lo que significa que sea metrizable.

¿Por qué importa? Este teorema tiende un puente entre la topología y la geometría. Nos dice que algunos espacios “bien estructurados” pueden tratarse como espacios métricos, lo que nos permite hablar de distancia, convergencia y continuidad como en la geometría clásica. Ejemplos familiares - como la recta real, el plano o los espacios euclidianos - son todos metrizables.

Un ejemplo concreto

La recta real ℝ, con la topología estándar formada por intervalos abiertos, cumple las dos condiciones de Urysohn:

• Es regular.
• Tiene una base numerable (los intervalos con extremos racionales).

Por tanto, ℝ es un espacio metrizable. La métrica usual $ d(x, y) = |x - y| $ genera exactamente la misma topología.

Nota. En la topología estándar de ℝ, los conjuntos abiertos son uniones de intervalos abiertos del tipo (a, b).
Un punto $ x $ pertenece a un conjunto abierto $ A $ si existe un intervalo $ (x - \varepsilon, x + \varepsilon) $ completamente contenido en $ A $. Esta topología proviene directamente de la distancia euclidiana $ |x - y| $ y es la que se usa en análisis: allí los conceptos de límite, continuidad y convergencia tienen su significado geométrico habitual.
 

Ejemplo 2: la topología discreta.

Consideremos ahora la recta real ℝ equipada con la topología discreta. También es un espacio metrizable, porque podemos definir la métrica discreta así:

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0, & \text{si } x = y \\ \\
1, & \text{si } x \ne y.
\end{cases}
$$

Sin embargo, su base no es numerable, ya que cada punto forma su propio conjunto abierto y el conjunto de los números reales es infinito y no numerable.

Esto confirma que el recíproco del teorema no se cumple: un espacio metrizable no tiene por qué poseer una base numerable.

Nota. La topología discreta es la más “fina” posible: todo subconjunto es simultáneamente abierto y cerrado. En particular, cada punto forma su propio conjunto abierto:
$$ {x} \text{ es abierto para todo } x \in \mathbb{R}. $$
En este tipo de topología no hay continuidad entre puntos: cada uno está completamente aislado. Es una topología muy sencilla, pero tan detallada que no puede generarse con una base numerable cuando el conjunto (como ℝ) es no numerable.
Y así sucesivamente.