Todo espacio métrico es un espacio de Hausdorff

Todo espacio métrico cumple la propiedad de Hausdorff. Si un espacio topológico no es de Hausdorff, entonces no puede provenir de ninguna métrica.

La condición de ser un espacio de Hausdorff garantiza que, para cada par de puntos distintos, existen entornos abiertos disjuntos que los separan.

En otras palabras, en un espacio métrico (es decir, un espacio donde se puede definir una distancia entre puntos), siempre es posible encontrar abiertos que separen cualquier par de puntos distintos.

Nota. La propiedad de Hausdorff debe cumplirse para todos los pares de puntos distintos del espacio, sin excepción.

Un ejemplo práctico
Demostración general

Un ejemplo práctico

Consideremos el plano euclidiano $\mathbb{R}^2$ con la distancia estándar, definida por $d(x, y)$, donde $x = (x_1, x_2)$ y $y = (y_1, y_2)$ son puntos del plano. La distancia viene dada por la fórmula:

$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$

Así, $\mathbb{R}^2$ equipado con esta métrica constituye un espacio métrico.

Los espacios métricos como $\mathbb{R}^2$ cumplen automáticamente la propiedad de Hausdorff: podemos separar cualquier par de puntos distintos mediante abiertos disjuntos.

Tomemos dos puntos $ A = (x_1, y_1) $ y $ B = (x_2, y_2) $ en $\mathbb{R}^2$ con $A \neq B$.

Como son distintos, su distancia es estrictamente positiva: $d(A, B) > 0$.

Elijamos ahora un radio menor que la mitad de esta distancia:

$$ r = d(A, B) / 2 $$

Definimos dos bolas abiertas de radio $r$:

$ U = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, A) < r \} $, es decir, el entorno abierto centrado en $A$,
$ V = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, B) < r \} $, entorno abierto centrado en $B$.

Estos conjuntos $U$ y $V$ son disjuntos:

$$ U \cap V = \varnothing $$

Esto se debe a que todo punto en $U$ está más cerca de $A$ que de $B$, y viceversa para los puntos en $V$.

Dado que este razonamiento es válido para cualquier par de puntos distintos en $\mathbb{R}^2$, podemos afirmar que $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclidiana es un espacio de Hausdorff.

Ejemplo 2

Consideremos el conjunto $\mathbb{R}$ con la topología del complemento finito.

En esta topología, un subconjunto $U \subseteq \mathbb{R}$ es abierto si es vacío ($\varnothing$) o si su complemento $\mathbb{R} \setminus U$ es finito (es decir, contiene un número finito de elementos).

Dicho de otro modo, un conjunto es abierto si contiene "casi todos" los puntos de $\mathbb{R}$, salvo por una cantidad finita.

Tomemos ahora dos puntos distintos $x, y \in \mathbb{R}$.

Intentemos hallar abiertos disjuntos que contengan a $x$ e $y$.

Sea $U$ un abierto que contiene a $x$. Para ser abierto en esta topología, el complemento $\mathbb{R} \setminus U$ debe ser finito; es decir, $U$ debe contener "casi todos" los puntos de $\mathbb{R}$.

De igual forma, sea $V$ un abierto que contiene a $y$, con complemento también finito.

Como tanto $U$ como $V$ contienen casi todos los puntos de $\mathbb{R}$, su intersección $U \cap V$ no puede ser vacía; necesariamente compartirán infinitos puntos.

Nota. Por ejemplo, sea $x = 1$ e $y = 2$. Intentemos separarlos usando abiertos disjuntos en la topología del complemento finito.

Tomamos un abierto $U$ que contenga a $x = 1$. Para que $U$ sea abierto, debe contener todos los reales salvo un número finito. Podemos, por ejemplo, excluir el punto $y = 2$ y algunos otros cercanos. Así obtenemos: $$ U = \mathbb{R} \setminus (2-\epsilon, 2+\epsilon) $$
De forma similar, definimos $V$ conteniendo a $y = 2$, excluyendo a $x = 1$ y otros pocos puntos: $$ V = \mathbb{R} \setminus (1-\epsilon, 1+\epsilon) $$

Dado que ambos conjuntos contienen casi todos los puntos de $\mathbb{R}$, su intersección será infinita: $$ U \cap V = \mathbb{R} \setminus \left[(2 - \epsilon, 2 + \epsilon) \cup (1 - \epsilon, 1 + \epsilon)\right] \ne \emptyset $$ Esto demuestra que, en la topología del complemento finito, no se pueden separar dos puntos mediante abiertos disjuntos.

Como no es posible encontrar abiertos disjuntos $U$ y $V$ que contengan respectivamente a $x$ e $y$, el espacio $(\mathbb{R}, \text{topología del complemento finito})$ no es de Hausdorff.

En consecuencia, este espacio no puede ser generado por ninguna métrica.

Demostración general

Sean $ x $ e $ y $ dos puntos distintos de un espacio métrico $(X, d)$.

Dado que $x \neq y$, existe una distancia positiva $\varepsilon > 0$ entre ellos.

Construimos dos bolas abiertas centradas en $x$ e $y$ de radio $\varepsilon/2$, de modo que no se solapen.

Definimos los siguientes entornos:

$ U $, el conjunto de puntos a distancia menor que $\varepsilon/2$ de $x$,
$ V $, el conjunto de puntos a distancia menor que $\varepsilon/2$ de $y$.

Vamos a demostrar que $U$ y $V$ son disjuntos.

Supongamos, para obtener una contradicción, que existe un punto $z$ tal que $z \in U \cap V$. Entonces:

$ d(x, z) < \varepsilon/2 $,
$ d(z, y) < \varepsilon/2 $.

Por la desigualdad triangular, se tendría:

$$ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon $$

Lo cual contradice el hecho de que $d(x, y) = \varepsilon$.

Por lo tanto, $U$ y $V$ no pueden tener ningún punto en común.

Esto prueba que, en cualquier espacio métrico, siempre es posible separar dos puntos distintos mediante abiertos disjuntos.

En consecuencia, todo espacio métrico es de Hausdorff.

Y así concluye la demostración.