Ejercicio sobre bases de espacios vectoriales II
En el espacio vectorial $V = \mathbb{R}^4$, consideremos los vectores $v_1 = (1, 0, -1, 2)$, $v_2 = (0, 2, 1, 1)$, $v_3 = (3, -4, -5, 4)$ y $v_4 = (-3, 4, 1, 4)$. Estos vectores generan un subespacio $W$:
$$ W = \langle \ \vec{v}_1 , \ \vec{v}_2 , \ \vec{v}_3 , \ \vec{v}_4 \ \rangle $$
El objetivo es determinar la dimensión de $W$ y encontrar una base para dicho subespacio.
Solución
Comenzamos analizando si los vectores dados son linealmente independientes:
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_4 = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Si los vectores fueran linealmente independientes, formarían una base de $W$, y su dimensión sería 4. Para comprobarlo, consideremos la combinación lineal:
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 + k_4 \vec{v}_4 = \vec{0} $$
Sustituyendo los vectores obtenemos:
$$ \begin{pmatrix} k_1 + 3k_3 - 3k_4 \\ 2k_2 - 4k_3 + 4k_4 \\ -k_1 + k_2 - 5k_3 + k_4 \\ 2k_1 + k_2 + 4k_3 + 4k_4 \end{pmatrix} = \vec{0} $$
Lo que conduce al siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} k_1 + 3k_3 - 3k_4 = 0 \\ 2k_2 - 4k_3 + 4k_4 = 0 \\ -k_1 + k_2 - 5k_3 + k_4 = 0 \\ 2k_1 + k_2 + 4k_3 + 4k_4 = 0 \end{cases} $$
La matriz de coeficientes es:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -4 & 4 \\ -1 & 1 & -5 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} $$
Comprobación: el determinante de la matriz es nulo, lo que confirma la dependencia lineal:
$$ \det(A) = 0 $$
Según el teorema de Rouché-Capelli, con $n = 4$ y rango $r = 3$, el sistema tiene infinitas soluciones:
$$ \infty^{n - r} = \infty^1 = \infty $$
Por lo tanto, los cuatro vectores son linealmente dependientes y no pueden constituir una base.
Para obtener una base, debemos eliminar uno de los vectores dependientes del conjunto generador $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \vec{v}_4 \}$.
Resolviendo el sistema homogéneo se obtiene una solución particular:
$$ \begin{cases} k_1 = -3k_3 \\ k_2 = 2k_3 \\ k_3 = c \\ k_4 = 0 \end{cases} $$
Eligiendo $k_3 = 1$, resulta:
$$ k_1 = -3, \quad k_2 = 2, \quad k_3 = 1, \quad k_4 = 0 $$
Esto conduce a la relación:
$$ -3\vec{v}_1 + 2\vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{v}_3 = 3\vec{v}_1 - 2\vec{v}_2 $$
Por consiguiente, $\vec{v}_3$ es combinación lineal de $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$, y puede eliminarse del conjunto generador.
Nota: dado que $\vec{v}_4$ no aparece en la relación de dependencia, es linealmente independiente de los demás. Eliminarlo conduciría a una base incorrecta.
Redefinimos, entonces, el subespacio $W$ como el generado por los tres vectores restantes:
$$ W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_4 \rangle $$
Para comprobar que estos tres vectores son linealmente independientes, resolvemos la ecuación:
$$ k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + k_4\vec{v}_4 = \vec{0} $$
De donde se obtiene el sistema:
$$ \begin{cases} k_1 - 3k_4 = 0 \\ 2k_2 + 4k_4 = 0 \\ -k_1 + k_2 + k_4 = 0 \\ 2k_1 + k_2 + 4k_4 = 0 \end{cases} $$
La matriz de coeficientes correspondiente es:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
Comprobación: un menor de orden 3 tiene determinante distinto de cero:
$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = -8 \ne 0 $$
Por tanto, el sistema solo admite la solución trivial:
$$ \infty^{n - r} = \infty^0 = 1 \quad \Rightarrow \text{únicamente la solución trivial} $$
En consecuencia, los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_4$ son linealmente independientes y constituyen una base válida del subespacio $W$:
$$ B_W = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , \vec{v}_4 \} $$
Dado que la base contiene tres vectores, la dimensión de $W$ es:
$$ \dim W = 3 $$
