Codimension d’un espace vectoriel
Dans un espace vectoriel V de dimension finie sur un corps K, étant donné un sous-espace W de V, la codimension est définie comme la différence entre la dimension de l’espace et celle du sous-espace :
$$ \text{codim}_K(W) = \text{dim}_K(V) - \text{dim}_K(W) $$
On note généralement la codimension par codim ou codimK, selon que l’on souhaite ou non préciser le corps de référence K.
Lorsque le corps K est clair d’après le contexte, l’indice est en général omis.
Remarque. La dimension d’un espace vectoriel (ou de l’un quelconque de ses sous-espaces) est toujours un entier naturel non négatif. Par suite, la codimension est elle aussi un entier non négatif.
Quel est l’intérêt de la codimension ?
La codimension évalue l’écart de dimension entre l’espace vectoriel V et son sous-espace W.
De façon intuitive, elle indique combien de directions linéairement indépendantes « manquent » à W pour engendrer l’ensemble de l’espace V.
