La dimension d’une base dans un espace vectoriel
La dimension d’une base d’un espace vectoriel correspond au nombre de vecteurs linéairement indépendants {v1,...,vn} qui la constituent.
$$ \mathrm{dim}_K(n) $$ $$\text{avec} \:\: n \in \mathbb{Z},\: n \ge 0 $$
La dimension (ou cardinalité) est un entier naturel non négatif, susceptible de varier de zéro jusqu’à l’infini.
On la note dimK(n), où K désigne le corps sur lequel l’espace vectoriel est défini, et n représente le nombre de vecteurs formant la base.
Remarque. Lorsque le corps K est clair d’après le contexte, on peut l’omettre. Dans ce cas, la dimension se note simplement dim(n).
La dimension d’une base peut être finie ou infinie, selon le nombre de vecteurs qu’elle comporte :
- Dimension finie
La base contient un nombre fini de vecteurs ; autrement dit, sa dimension est un entier naturel n.
$$ B = \{ v_1 , ..., v_n \} $$ - Dimension infinie
La base est constituée d’une infinité dénombrable (ou éventuellement non dénombrable) de vecteurs.
$$ B = \{ v_1 , v_2 , ... \} $$
Exemples
Exemple 1
La base suivante est formée de deux vecteurs, v1 et v2 ; sa dimension est donc égale à 2.
$$ B = \{ v_1 , v_2 \} $$
Exemple 2
Cette base comprend trois vecteurs : {v1, v2, v3}. Sa dimension est donc égale à 3.
$$ B = \{ v_1 , v_2 , v_3 \} $$
Exemple 3
Ce sous-ensemble ne contient que le vecteur nul {0v}.
Comme il ne comporte que le vecteur nul, il ne constitue pas une base. Par conséquent, sa dimension est nulle.
$$ B = \{ 0_v \} $$
Dimension nulle et espace vectoriel trivial
La dimension nulle (ou zéro) constitue un cas particulier parmi les dimensions finies.
En algèbre linéaire, seul l’espace vectoriel trivial possède une dimension nulle, car il est formé exclusivement du vecteur nul 0v.
$$ \{ 0_v \} $$
Le vecteur nul 0v est linéairement dépendant.
Remarque. Un ensemble de vecteurs est dit linéairement indépendant lorsque la seule combinaison linéaire donnant le vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls : $$ \vec{v} = k_1 \cdot \vec{v}_1 + k_2 \cdot \vec{v}_2 + \dots + k_n \cdot \vec{v}_n $$ En revanche, pour le vecteur nul, toute combinaison linéaire comportant des coefficients non tous nuls donne également le vecteur nul. Ainsi, le vecteur nul ne satisfait pas la condition d’indépendance linéaire : il est nécessairement dépendant.
Il s’ensuit que l’espace vectoriel trivial ne peut admettre de base - puisqu’il ne contient aucun vecteur linéairement indépendant - et qu’il constitue, en conséquence, le seul espace vectoriel de dimension nulle.
Et ainsi de suite.
