Théorème d’unicité de la représentation d’un vecteur dans une base
Tout vecteur d’un espace vectoriel peut être représenté, relativement à une base B, par une unique combinaison linéaire de scalaires.
Définition
Soit B = {v1, v2, ..., vn} une base de l’espace vectoriel V sur le corps K. Alors, tout vecteur v ∈ V s’exprime de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base : $$ v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_n v_n $$ où les coefficients α1, ..., αn sont des éléments du corps K.
Démonstration
Soit v un vecteur quelconque de l’espace V :
$$ \vec{v} \in V $$
La base de cet espace est formée de n vecteurs :
$$ B = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ..., \vec{v}_n \} $$
Par définition d’une base, on peut écrire le vecteur v comme une combinaison linéaire des vecteurs de B :
$$ \vec{v} = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_n \vec{v}_n $$
Supposons, par l’absurde, que v admette une seconde combinaison linéaire différente faisant intervenir les mêmes vecteurs :
$$ \vec{v} = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 + \dots + \beta_n \vec{v}_n $$
Puisque ces deux expressions représentent le même vecteur, on doit avoir :
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_n \vec{v}_n = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 + \dots + \beta_n \vec{v}_n $$
En regroupant tous les termes d’un même côté :
$$ (\alpha_1 - \beta_1) \vec{v}_1 + (\alpha_2 - \beta_2) \vec{v}_2 + \dots + (\alpha_n - \beta_n) \vec{v}_n = 0 $$
Or, les vecteurs {v1, ..., vn} étant linéairement indépendants, cette combinaison linéaire ne peut être nulle que si tous les coefficients sont nuls :
$$ \alpha_1 = \beta_1, \quad \alpha_2 = \beta_2, \quad \dots, \quad \alpha_n = \beta_n $$
Les deux combinaisons sont donc identiques.
On a ainsi démontré que la représentation d’un vecteur relativement à une base donnée est unique.
Démonstration alternative
Une base est, par définition, un ensemble minimal de vecteurs générateurs.
En conséquence, tout vecteur de l’espace peut s’écrire comme une combinaison linéaire des n vecteurs de la base :
$$ v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n $$
Nous voulons établir que cette représentation est la seule possible.
Selon le théorème, chaque vecteur de l’espace admet une unique représentation en coordonnées relativement à la base : il existe un unique n-uplet de scalaires a1, ..., an tel que v = a1v1 + ... + anvn.
Procédons par l’absurde.
Supposons qu’il existe deux combinaisons linéaires distinctes donnant le même vecteur v :
$$ v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n = b_1 w_1 + \dots + b_m w_m $$
En soustrayant les deux expressions, on obtient :
$$ a_1 v_1 + \dots + a_n v_n - b_1 w_1 - \dots - b_m w_m = 0 $$
Soit k le minimum entre n et m :
$$ k = \min(n, m) $$
Supposons que vi = wi pour i = 1,...,k, et qu’à partir de i = k+1, les vecteurs diffèrent.
Réécrivons l’équation sous la forme :
$$ \sum_{i=1}^{k} (a_i - b_i) v_i + \sum_{i=k+1}^{n} a_i v_i - \sum_{j=k+1}^{m} b_j w_j = 0 $$
Comme les vecteurs vi et wj sont linéairement indépendants, cette combinaison nulle ne peut se produire que si :
- ai = bi pour tout i = 1,...,k ;
- ak+1 = ... = an = 0 ;
- bk+1 = ... = bm = 0.
Il s’ensuit que les deux combinaisons coïncident et sont donc triviales.
En conclusion, la représentation d’un vecteur par rapport à une base est unique.
Les coefficients intervenant dans cette combinaison sont appelés les coordonnées (ou composantes) du vecteur relativement à la base.
Autrement dit, si les vecteurs de la base sont linéairement indépendants, la représentation de tout vecteur de l’espace est unique et entièrement déterminée par un seul n-uplet de scalaires.
