Les coordonnées (ou poids) d’un vecteur
Les coordonnées (ou poids) d’un vecteur $v$, relativement à une base $B$, sont les coefficients scalaires $a_1,\dots,a_n$ de la combinaison linéaire qui caractérise de manière unique ce vecteur dans l’espace vectoriel.
Définition
Soit $B$ une base composée d’un nombre fini de vecteurs de l’espace $V$ défini sur le corps $K$. Pour tout vecteur $v \in V$, il existe un unique $n$-uplet de scalaires $a_1,\dots,a_n$ (appelés coordonnées ou poids) tel que : $$ v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n. $$
On parle de coordonnées uniquement lorsque la combinaison linéaire associée est effectivement unique.
Ainsi, une fois la base fixée, chaque vecteur de $V$ se représente de façon non ambiguë par une combinaison linéaire de scalaires, ses coordonnées.
$$ v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n $$
Exemples et exercices sur les coordonnées de vecteurs
Exemple 1
Considérons l’espace vectoriel $V = \mathbb{R}^2$, défini sur le corps $\mathbb{R}$, où chaque vecteur peut être représenté à l’aide de la base canonique.
$$ v_1 = (1,0) \quad v_2 = (0,1) $$
On obtient donc :
$$ B = \{ v_1 = (1,0), \; v_2 = (0,1) \} $$
Représentons maintenant un vecteur quelconque de l’espace, par exemple $v = (4,2)$.
La combinaison linéaire de $v$ s’écrit :
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,0) + a_2 (0,1) $$
$$ (4,2) = (a_1,0) + (0,a_2) $$
$$ (4,2) = (a_1,a_2) $$
d’où :
$$ \begin{cases} a_1 = 4 \\ a_2 = 2 \end{cases} $$
Ainsi, les coordonnées du vecteur $v = (4,2)$ relativement à la base canonique sont $a_1 = 4$ et $a_2 = 2$.
Vérification
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = 4 (1,0) + 2 (0,1) $$
$$ (4,2) = (4,0) + (0,2) = (4,2) $$
Remarque. Ces coordonnées sont uniques. Autrement dit, le vecteur $v$ ne peut être exprimé dans la base $B$ qu’à l’aide des coefficients $a_1 = 4$ et $a_2 = 2$.
Exemple 2
Représentons à présent le même vecteur $v = (4,2)$, mais en utilisant une autre base $B_2$ du même espace $V$.
$$ B_2 = \{ v_1 = (1,1), \; v_2 = (2,1) \} $$
La combinaison linéaire de $v$ dans la base $B_2$ est :
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = a_1 (1,1) + a_2 (2,1) $$
$$ (4,2) = (a_1,a_1) + (2a_2,a_2) $$
$$ (4,2) = (a_1 + 2a_2, \, a_1 + a_2) $$
ce qui conduit au système :
$$ \begin{cases} a_1 + 2a_2 = 4 \\ a_1 + a_2 = 2 \end{cases} $$
Résolvons :
$$ \begin{cases} a_1 = 2 - a_2 \\ (2 - a_2) + 2a_2 = 4 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2 = 2 \\ a_1 = 2 - 2 = 0 \end{cases} $$
Ainsi, les coordonnées du vecteur $v = (4,2)$ relativement à la base $B_2$ sont $a_1 = 0$ et $a_2 = 2$.
Vérification
$$ (x,y) = a_1 v_1 + a_2 v_2 $$
$$ (4,2) = 0 (1,1) + 2 (2,1) $$
$$ (4,2) = (0,0) + (4,2) = (4,2) $$
Remarque. Ces coordonnées sont également uniques. Ainsi, le vecteur $v$ ne peut être représenté dans la base $B_2$ qu’au moyen des coefficients $a_1 = 0$ et $a_2 = 2$.
En résumé, l’expression d’un même vecteur $v = (4,2)$ dépend de la base choisie : ses coordonnées dans $B_2$ diffèrent de celles obtenues dans la base canonique, et il en va de même pour toute autre base de l’espace.
Et ainsi de suite.
