La base d’un espace vectoriel

En algèbre linéaire, une base est un système générateur minimal d’un espace vectoriel $V$.

Définition

Dans un espace vectoriel $V$ défini sur un corps $K$, un ensemble de vecteurs $B = \{ v_1, \dots, v_n \}$ est appelé base de $V$ s’il satisfait les conditions suivantes :

• Il engendre l’ensemble de l’espace vectoriel $V$.
• Ses vecteurs sont linéairement indépendants.

$$ B = \{ v_1, \dots, v_n \} $$

Un tel ensemble est également désigné sous le nom de système générateur libre.

Caractéristiques d’une base, coordonnées et dimension

Pour qu’un ensemble de vecteurs constitue une base, deux conditions essentielles doivent être remplies :

1. Engendrer l’espace vectoriel
   L’ensemble doit former un système générateur.

   Remarque. Cela signifie que tout vecteur de $V$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base. Cette propriété est commune à tout système générateur $L_R$.

2. Être linéairement indépendant
   Aucun vecteur de l’ensemble ne doit pouvoir s’exprimer comme combinaison linéaire des autres.

   Différence entre une base et un système générateur. L’indépendance linéaire de tous les vecteurs de $B$ est précisément ce qui distingue une base d’un simple système générateur, lequel peut contenir des vecteurs dépendants.

Coordonnées ou composantes d’un vecteur

Dans une base $B$, chaque vecteur de l’espace $V$ possède une unique représentation comme combinaison linéaire des vecteurs de $B$. Les scalaires intervenant dans cette combinaison sont appelés coordonnées ou composantes du vecteur relativement à la base.

$$ v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n $$

Remarque. Cette propriété découle du théorème d’unicité de la représentation par rapport à une base.

Il en résulte que le système linéaire associé admet une solution unique.

Déterminer une base revient donc à établir l’existence et l’unicité de la solution d’un tel système.

Dimension d’une base

Le nombre de vecteurs constituant une base est appelé la dimension de l’espace vectoriel : $$ \dim(V) = n \qquad \text{avec } n \in \mathbb{Z}_{\ge 0} $$

La dimension peut être :

• Finie : lorsque la base contient un nombre fini de vecteurs.
• Infinie : lorsque la base est formée d’une infinité de vecteurs.

Dimension nulle. Le seul espace vectoriel de dimension nulle est l’espace trivial $\{ \vec{0} \}$, réduit au vecteur nul. Comme il ne contient aucun vecteur linéairement indépendant, il ne possède pas de base.

Exemple

Si $B = \{ v_1 , v_2 \}$, alors la dimension de l’espace est égale à 2.

Exemples et exercices sur les bases

Exemple 1

Considérons l’espace $V = \mathbb{R}^2$ sur le corps $K = \mathbb{R}$ et les vecteurs suivants :

$$ v_1 = (1,0), \qquad v_2 = (0,1) $$

Pour vérifier s’ils forment une base, examinons leur indépendance linéaire :

$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 = (a_1, a_2) $$

En coordonnées :

$$ (x, y) = (a_1, a_2) \Rightarrow \begin{cases} a_1 = x \\ a_2 = y \end{cases} $$

Ce système admet une solution unique pour tout couple $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, ce qui confirme que $v_1$ et $v_2$ sont linéairement indépendants et constituent donc une base de $\mathbb{R}^2$.

On peut également le constater sous forme matricielle :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Le déterminant du mineur d’ordre 2 vaut :

$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \ne 0 $$

Le rang est égal au nombre d’inconnues ⇒ indépendance confirmée.

Exemple 2

Considérons maintenant les vecteurs $v_1 = (1,1)$ et $v_2 = (-1,1)$ dans $\mathbb{R}^2$.

La combinaison linéaire s’écrit :

$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 = (a_1 - a_2, a_1 + a_2) $$

En coordonnées :

$$ (x, y) = (a_1 - a_2, a_1 + a_2) $$

Ce qui conduit au système :

$$ \begin{cases} a_1 - a_2 = x \\ a_1 + a_2 = y \end{cases} $$

Sous forme matricielle :

$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Le déterminant du mineur d’ordre 2 est :

$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 1 = 2 \ne 0 $$

Rang = 2 ⇒ vecteurs indépendants ⇒ ils forment une base.

Remarque. Pour davantage de détails sur la vérification de l’indépendance linéaire à l’aide du rang d’une matrice, cliquez ici.

Vérification par substitution :

$$ \begin{cases} a_1 - a_2 = x \\ a_1 + a_2 = y \end{cases} $$ $$ \Rightarrow a_1 = y - a_2 $$ $$ \Rightarrow (y - a_2) - a_2 = x \Rightarrow a_2 = \frac{y - x}{2} $$ $$ \Rightarrow a_1 = y - \frac{y - x}{2} = \frac{x + y}{2} $$

Pour tout $(x, y)$, il existe une solution unique ⇒ les vecteurs forment une base.

Combien de bases un espace vectoriel peut-il admettre ?

Un espace vectoriel ne possède pas une seule base.

Tout espace vectoriel réel admet en réalité une infinité de bases.

Lorsque plusieurs bases existent dans un même espace, la représentation d’un vecteur donné varie selon la base choisie.

Le cas de l’espace vectoriel trivial

L’espace vectoriel trivial $\{0_v\}$ constitue une exception notable.

L’espace trivial $\{0_v\}$ n’admet aucune base.

Démonstration

Il ne contient en effet que le vecteur nul, qui est toujours linéairement dépendant.

Remarque. Un vecteur est dit linéairement indépendant si une combinaison linéaire qui donne le vecteur nul n’est possible que lorsque tous les coefficients sont nuls : $$ \vec{v} = k_1 \vec{v_1} + \cdots + k_n \vec{v_n} = \vec{0} $$ Or, le vecteur nul peut s’obtenir même si l’un des coefficients est non nul, par exemple : $k_1 \ne 0$ et les autres nuls : $$ \vec{0} = k_1 \vec{v_1} = \vec{0} $$ Ainsi, le vecteur nul ne peut jamais être considéré comme linéairement indépendant.

Par conséquent, l’espace trivial ne contient aucun vecteur indépendant et ne peut donc posséder de base.

La base canonique

On appelle base canonique une base dont chaque vecteur $v_i$ est nul en toutes ses composantes, à l’exception de la $i$-ème qui vaut 1.

Dans tout espace $K^n$, il existe toujours une telle base canonique.

Exemple

Dans l’espace vectoriel $\mathbb{R}^4$ défini sur le corps $\mathbb{R}$, considérons les vecteurs suivants :

$$ v_1 = (1,0,0,0) $$ $$ v_2 = (0,1,0,0) $$ $$ v_3 = (0,0,1,0) $$ $$ v_4 = (0,0,0,1) $$

Ces vecteurs correspondent à la matrice identité, dont la diagonale est formée de 1 et dont tous les autres coefficients sont nuls :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Il est immédiat que ces vecteurs sont linéairement indépendants, puisque le rang de la matrice est 4, égal au nombre de colonnes.

Leur combinaison linéaire générale s’écrit :

$$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 $$ $$ v = (a_1, a_2, a_3, a_4) $$

D’où :

$$ (x, y, z, w) = (a_1, a_2, a_3, a_4) $$

Ce qui équivaut au système :

$$ \begin{cases} a_1 = x \\ a_2 = y \\ a_3 = z \\ a_4 = w \end{cases} $$

Ce système admet une unique solution, ce qui confirme qu’il s’agit bien d’une base.

Théorèmes fondamentaux relatifs aux bases

On énonce ci-dessous les principaux théorèmes concernant les bases d’espaces vectoriels :

Théorème d’unicité de la représentation d’un vecteur dans une base

Tout vecteur $v$ de l’espace $V$ s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs d’une base $B$, avec des scalaires $a_1, \dots, a_n$.

Théorème de dépendance linéaire relativement à une base

Chaque vecteur de l’espace $V$ est linéairement dépendant des vecteurs qui composent une base $B$ (c’est-à-dire qu’il peut toujours s’exprimer comme une combinaison de ces derniers).

Théorème de la dimension d’une base

Si un espace vectoriel $V$ sur un corps $K$ possède une base $B$ constituée d’un nombre fini de vecteurs, alors toute autre base $B'$ de $V$ contiendra exactement le même nombre d’éléments. En d’autres termes, toutes les bases d’un même espace ont la même dimension.

Corollaire

Le nombre de vecteurs d’une base dépend exclusivement de l’espace vectoriel, et non du choix particulier de la base.

Théorème de complétion d’une base

Si un ensemble de vecteurs linéairement indépendants contient $k < n$ éléments, il est toujours possible de le compléter en ajoutant $n - k$ vecteurs également indépendants, de façon à former une base.

Autres résultats relatifs aux bases

• Dans un espace vectoriel fini de dimension $n$, à partir d’un système générateur $\{ v_1, v_2, \dots, v_s \}$ avec $s > n$, on peut extraire une base en éliminant les vecteurs linéairement dépendants (démonstration).
• Dans un espace vectoriel fini de dimension $n$, tout ensemble de $p < n$ vecteurs indépendants peut être complété pour former une base en ajoutant des vecteurs convenables (démonstration).
• Dans un espace vectoriel $V$ de dimension connue $\dim(V)=n$, si un ensemble de $n$ vecteurs engendre $V$, alors cet ensemble constitue une base (démonstration).
• Dans un espace vectoriel $V$ de dimension connue $\dim(V)=n$, si un ensemble de $n$ vecteurs est linéairement indépendant, il forme nécessairement une base de $V$ (démonstration).