Démonstration du théorème sur les bases d’un espace vectoriel (1)
Dans un espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$, tout ensemble générateur de $V$ contient une base, obtenue en supprimant les vecteurs linéairement dépendants.
Démonstration
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ :
$$ \dim V = n $$
Par définition, une base de $V$ est constituée exactement de $n$ vecteurs.
Supposons que l’on dispose d’un ensemble générateur formé de $p$ vecteurs :
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_p \} $$
Puisque cet ensemble engendre tout l’espace, on a nécessairement :
$$ p \ge n $$
Nous cherchons maintenant à savoir si cet ensemble est aussi une base de $V$. Pour cela, examinons si ses vecteurs sont linéairement indépendants.
- Si $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$ est linéairement indépendant, il constitue une base de $V$, et l’on a alors $p = n$. La démonstration est terminée.
- Sinon, il existe au moins un vecteur qui peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres.
Sans perte de généralité, réordonnons les vecteurs de manière à placer le vecteur dépendant en dernière position. On peut alors écrire :
$$ v_p = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \dots + \alpha_{p-1} \vec{v}_{p-1} $$
Comme l’ensemble $\{v_1, \dots, v_p\}$ engendre $V$, tout vecteur $\vec{v} \in V$ peut se mettre sous la forme :
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_{p-1} \vec{v}_{p-1} + \lambda_p \vec{v}_p $$
En remplaçant $v_p$ par son expression, on obtient :
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \dots + \lambda_{p-1} \vec{v}_{p-1} + \lambda_p (\alpha_1 \vec{v}_1 + \dots + \alpha_{p-1} \vec{v}_{p-1}) $$
$$ = (\lambda_1 + \lambda_p \alpha_1)\vec{v}_1 + \dots + (\lambda_{p-1} + \lambda_p \alpha_{p-1}) \vec{v}_{p-1} $$
On en déduit que l’ensemble $\{v_1, v_2, \dots, v_{p-1}\}$ engendre également $V$, car tout vecteur de l’espace peut être exprimé à partir de ces $p - 1$ vecteurs.
Vérifions maintenant si ces $p - 1$ vecteurs sont linéairement indépendants :
- S’ils le sont, ils forment une base de $V$, et l’on a alors $p - 1 = n$.
- Dans le cas contraire, on élimine à nouveau un vecteur dépendant et on répète le raisonnement.
Ce processus se poursuit un nombre fini de fois, puisque le nombre de vecteurs de l’ensemble générateur diminue à chaque étape. On obtient finalement un sous-ensemble de $n$ vecteurs linéairement indépendants :
$$ \{ v_1, v_2, \dots, v_n \} $$
Ce sous-ensemble forme alors une base de $V$, car il satisfait simultanément les deux conditions essentielles : il engendre tout l’espace et ses vecteurs sont linéairement indépendants.
Q.E.D.
