Démonstration du théorème sur les bases d’un espace vectoriel (4)

Dans un espace vectoriel $V$ de dimension connue $\dim(V) = n$, tout ensemble de vecteurs linéairement indépendants $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ forme également une base de $V$.

Démonstration

Ce théorème s’appuie sur l’hypothèse que la dimension de l’espace vectoriel est déjà fixée :

$$ \dim(V) = n $$

Si l’espace vectoriel $V$ est de dimension $n$, alors toute base de $V$ est nécessairement constituée de $n$ vecteurs.

Remarque. Par définition, une base est un ensemble générateur de $V$ dont les vecteurs sont linéairement indépendants.

Dans le cadre de ce théorème, on suppose que les vecteurs $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ forment un ensemble de vecteurs linéairement indépendants.

La question est donc de savoir si cet ensemble engendre également tout l’espace $V$.

D’après un théorème déjà démontré, tout ensemble de vecteurs linéairement indépendants $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$, dont le cardinal $p$ est inférieur à la dimension de l’espace ($p < n$), peut être complété par des vecteurs supplémentaires de manière à obtenir une base.

Or, dans le cas présent, l’ensemble de vecteurs linéairement indépendants contient exactement $p = n$ vecteurs.

Il est donc impossible d’y adjoindre un vecteur supplémentaire sans perdre l’indépendance linéaire.

Remarque. Ajouter un vecteur donnerait un ensemble de $n + 1$ vecteurs : $\{v_1, v_2, \dots, v_{n+1}\}$, dont l’un serait nécessairement linéairement dépendant des autres. Un tel ensemble ne pourrait donc pas constituer une base.

On en conclut que l’ensemble de vecteurs linéairement indépendants $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ forme déjà une base de l’espace vectoriel $V$.

Q.E.D.