Démonstration du théorème sur les bases d’un espace vectoriel (2)

Dans un espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$, tout ensemble de vecteurs linéairement indépendants $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$, avec $p \leq n$, peut toujours être complété - en ajoutant des vecteurs appropriés - de manière à former une base de l’espace.

Démonstration

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie :

$$ \dim V = n $$

Par définition, toute base de $V$ est constituée exactement de $n$ vecteurs :

$$ B = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \} $$

Supposons que l’on dispose d’un ensemble de $p$ vecteurs linéairement indépendants dans $V$ :

$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_p \} $$

avec $p \leq n$ :

$$ p \leq n $$

Nous voulons déterminer si cet ensemble engendre déjà tout l’espace $V$.

• Si l’ensemble $\{v_1, v_2, \dots, v_p\}$ engendre $V$, il constitue alors une base, et aucune étape supplémentaire n’est nécessaire.
• Dans le cas contraire, il existe au moins un vecteur $v_{p+1} \in V$ qui ne peut pas être exprimé comme une combinaison linéaire des précédents. On ajoute alors ce vecteur à l’ensemble :

$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_p, \vec{v}_{p+1} \} $$

Puisque $v_{p+1}$ n’appartient pas au sous-espace engendré par $\{v_1, \dots, v_p\}$, l’ensemble obtenu reste linéairement indépendant.

On vérifie ensuite si ce nouvel ensemble engendre $V$. Si ce n’est toujours pas le cas, on recommence : on choisit un vecteur $v_{p+2}$, indépendant des précédents, et on l’ajoute au système.

Ce procédé se répète jusqu’à obtenir un ensemble de $n$ vecteurs linéairement indépendants :

$$ \{ v_1, v_2, \dots, v_{p+k} \} \quad \text{avec} \quad p + k = n $$

Dès que l’on atteint un ensemble de $n$ vecteurs linéairement indépendants dans un espace de dimension $n$, celui-ci constitue nécessairement une base de $V$.

On en conclut que tout ensemble de vecteurs linéairement indépendants peut être complété - en un nombre fini d’étapes - pour former une base de l’espace.

Q.E.D.