Théorème de complétion d’une base dans un espace vectoriel

Lorsqu’un ensemble de vecteurs linéairement indépendants ne forme pas encore une base complète d’un espace vectoriel, il est toujours possible de l’étendre en y ajoutant d’autres vecteurs linéairement indépendants jusqu’à obtenir une base de l’espace.

Définition

Soit V un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps $K$. Étant donné un ensemble de $k$ vecteurs linéairement indépendants $v_1,\dots,v_k \in V$, avec $k < n$, il existe $n - k$ vecteurs supplémentaires $v_{k+1},\dots,v_n \in V$ tels que
$$ B = \{ v_1, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_n \} $$
soit une base de V.

Exemple

Considérons l’espace vectoriel $V = \mathbb{R}^3$ sur le corps $\mathbb{R}$, et les deux vecteurs suivants :

$$ v_1 = (2,1,0) \qquad v_2 = (1,1,0) $$

Ces vecteurs sont linéairement indépendants, mais ils ne génèrent pas tout l’espace ; ils ne constituent donc pas encore une base complète :

$$ B = \{ v_1 , v_2 , \ ? \} $$

Pour déterminer un troisième vecteur qui complète la base, plaçons $v_1$ et $v_2$ en colonnes dans une matrice :

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Nous complétons ensuite cette matrice avec les vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^3$ :

$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Remarque. On pourrait choisir n’importe quelle autre base de $\mathbb{R}^3$, mais la base canonique est particulièrement commode en raison de sa structure diagonale, qui simplifie les calculs.

Appliquons maintenant la méthode de Gauss-Jordan afin de réduire la matrice à une forme échelonnée :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Les pivots (ou éléments principaux) se situent dans les première, deuxième et cinquième colonnes.

On sélectionne donc ces colonnes dans la matrice initiale, ce qui permet d’identifier le troisième vecteur linéairement indépendant :

Le vecteur qui complète la base est $v_3 = (0,0,1)$.

La base complète de l’espace s’écrit donc :

$$ B = \{ v_1 = (2,1,0), \ v_2 = (1,1,0), \ v_3 = (0,0,1) \} $$

Le nombre de vecteurs de la base coïncide désormais avec la dimension de l’espace $V = \mathbb{R}^3$, c’est-à-dire $n = 3$.