Théorème de dépendance linéaire d’un vecteur par rapport à une base

Définition

Dans un espace vectoriel $V$ sur un corps $K$, étant donnée une base $B = \{ v_1, \dots, v_n \}$, tout vecteur $v \in V$ est linéairement dépendant des vecteurs de cette base.

Démonstration

Soit $B$ une base de l’espace vectoriel $V$, et soit $v \in V$ un vecteur arbitraire. D’après la définition d’une base, il existe des scalaires $a_1, \dots, a_n \in K$ tels que :

$$ v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n $$

En réarrangeant cette égalité, on obtient :

$$ v - a_1 v_1 - \dots - a_n v_n = 0 $$

Autrement dit, le vecteur nul peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs $\{ v, v_1, \dots, v_n \}$ :

$$ \vec{0}_v = 1 \cdot v + (-a_1) \cdot v_1 + \dots + (-a_n) \cdot v_n $$

Le coefficient associé à $v$ étant non nul (égal à 1), cette combinaison est non triviale.

$$ (1)\quad v - a_1 v_1 - \dots - a_n v_n = 0 $$

On en déduit que l’ensemble $\{ v, v_1, \dots, v_n \}$ est linéairement dépendant.

Conclusion

L’adjonction de tout vecteur supplémentaire à une base engendre nécessairement un ensemble linéairement dépendant.