Démonstration du théorème sur les bases d’un espace vectoriel (3)

Dans un espace vectoriel $V$ de dimension connue $\dim(V) = n$, tout ensemble générateur $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ de $V$ est également une base de $V$.

Démonstration

Ce théorème repose sur l’hypothèse que la dimension de l’espace vectoriel est déjà déterminée :

$$ \dim(V) = n $$

Si l’espace vectoriel $V$ est de dimension $n$, toute base de $V$ comporte nécessairement $n$ vecteurs.

Remarque. Par définition, une base est un ensemble générateur de $V$ dont les vecteurs sont linéairement indépendants.

Dans le cas présent, on suppose que les vecteurs $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ constituent un ensemble générateur de $V$.

D’après un théorème déjà établi, si un ensemble générateur $\{v_1, v_2, \dots, v_s\}$ contient plus de vecteurs que la dimension de l’espace (autrement dit, si $s > n$), on peut en déduire une base en supprimant les $s - n$ vecteurs linéairement dépendants.

Dans notre situation, cependant, l’ensemble générateur contient exactement $s = n$ vecteurs.

Il n’est donc possible d’en éliminer aucun.

Remarque. Supprimer ne serait-ce qu’un seul vecteur laisserait un ensemble de $n - 1$ vecteurs, qui ne pourrait plus engendrer tout l’espace $V$.

Par conséquent, l’ensemble générateur $\{v_1, v_2, \dots, v_s\}$ constitue déjà une base de l’espace vectoriel $V$.

Q.E.D.