Exercice : Bases d’un espace vectoriel (1)
Dans l’espace vectoriel $V = \mathbb{R}^3$, on cherche une base contenant les vecteurs $v_1 = (2, -1, 0)$ et $v_2 = (1, 1, 3)$.
Solution
Les vecteurs donnés sont :
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Ces deux vecteurs sont linéairement indépendants, car aucun n’est un multiple scalaire de l’autre. Cela peut d’ailleurs se constater immédiatement, sans qu’il soit nécessaire d’effectuer des calculs.
La dimension de l’espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ est :
$$ \dim V = 3 $$
Par conséquent, toute base de $V$ doit comporter trois vecteurs linéairement indépendants.
Les vecteurs $v_1$ et $v_2$ étant indépendants mais ne générant pas tout $\mathbb{R}^3$, ils ne forment pas encore une base complète.
Pour la compléter, il suffit d’ajouter un troisième vecteur indépendant des deux premiers.
Un choix naturel consiste à prendre le vecteur canonique $v_3 = (1, 0, 0)$ :
$$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Considérons maintenant l’ensemble suivant :
$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \} $$
Pour vérifier qu’il s’agit bien d’une base, examinons si ces trois vecteurs sont linéairement indépendants, c’est-à-dire si la seule solution du système
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 = \vec{0} $$
est la solution triviale $k_1 = k_2 = k_3 = 0$.
En substituant les vecteurs, on obtient :
$$ k_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Ce qui donne le système d’équations suivant :
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ -k_1 + k_2 = 0 \\ 3k_2 = 0 \end{cases} $$
À partir de la troisième équation, on déduit immédiatement :
$$ k_2 = 0 $$
En remplaçant dans la deuxième :
$$ -k_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad k_1 = 0 $$
Et dans la première :
$$ k_3 = 0 $$
La seule solution est donc :
$$ k_1 = k_2 = k_3 = 0 $$
Les trois vecteurs sont donc linéairement indépendants.
Or, dans un espace de dimension 3, tout ensemble de trois vecteurs linéairement indépendants forme automatiquement une base.
On peut donc conclure que l’ensemble $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \}$ constitue une base valable de l’espace vectoriel $V$ :
$$ B_V = \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3 \} $$
Remarque : Il n’est pas nécessaire de vérifier explicitement si l’ensemble engendre $\mathbb{R}^3$. Dans un espace vectoriel de dimension finie, tout ensemble de $n$ vecteurs linéairement indépendants dans un espace de dimension $n$ forme automatiquement une base.
