Exercice : Bases d’un espace vectoriel (II)

Dans l’espace vectoriel $V = \mathbb{R}^4$, considérons les vecteurs suivants : $v_1 = (1, 0, -1, 2)$, $v_2 = (0, 2, 1, 1)$, $v_3 = (3, -4, -5, 4)$ et $v_4 = (-3, 4, 1, 4)$. Ces vecteurs engendrent un sous-espace $W$ :

$$ W = \langle \ \vec{v}_1 , \ \vec{v}_2 , \ \vec{v}_3 , \ \vec{v}_4 \ \rangle $$

L’objectif est de déterminer la dimension de $W$ et d’en construire une base.

Solution

Commençons par examiner si les vecteurs donnés sont linéairement indépendants :

$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_4 = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Si ces vecteurs étaient indépendants, ils formeraient une base de $W$ et la dimension serait $4$. Pour le vérifier, considérons la combinaison linéaire suivante :

$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 + k_4 \vec{v}_4 = \vec{0} $$

En substituant les vecteurs, on obtient :

$$ \begin{pmatrix} k_1 + 3k_3 - 3k_4 \\ 2k_2 - 4k_3 + 4k_4 \\ -\,k_1 + k_2 - 5k_3 + k_4 \\ 2k_1 + k_2 + 4k_3 + 4k_4 \end{pmatrix} = \vec{0} $$

Ce qui conduit au système suivant :

$$ \begin{cases} k_1 + 3k_3 - 3k_4 = 0 \\ 2k_2 - 4k_3 + 4k_4 = 0 \\ -\,k_1 + k_2 - 5k_3 + k_4 = 0 \\ 2k_1 + k_2 + 4k_3 + 4k_4 = 0 \end{cases} $$

La matrice des coefficients est donc :

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -4 & 4 \\ -1 & 1 & -5 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} $$

Vérification - Le déterminant de la matrice est nul, ce qui prouve que les vecteurs sont dépendants :

$$ \det(A) = 0 $$

D’après le théorème de Rouché - Capelli, avec $n = 4$ et un rang $r = 3$, le système admet une infinité de solutions :

$$ \infty^{n - r} = \infty^1 = \infty $$

Les quatre vecteurs sont donc linéairement dépendants et ne peuvent pas former une base complète.

Pour obtenir une base de $W$, il faut retirer l’un des vecteurs dépendants du système générateur $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3, \vec{v}_4 \}$.

En résolvant le système homogène, on obtient la relation suivante :

$$ \begin{cases} k_1 = -3k_3 \\ k_2 = 2k_3 \\ k_3 = c \\ k_4 = 0 \end{cases} $$

En prenant $k_3 = 1$, on trouve :

$$ k_1 = -3, \quad k_2 = 2, \quad k_3 = 1, \quad k_4 = 0 $$

Ce qui donne la relation de dépendance :

$$ -3\vec{v}_1 + 2\vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \vec{v}_3 = 3\vec{v}_1 - 2\vec{v}_2 $$

Autrement dit, $\vec{v}_3$ est une combinaison linéaire de $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$, et peut donc être éliminé du système générateur.

Remarque - Puisque $\vec{v}_4$ n’apparaît pas dans cette relation de dépendance, il est linéairement indépendant des autres vecteurs. Le supprimer mènerait à une base incomplète.

On redéfinit donc le sous-espace $W$ comme suit :

$$ W = \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_4 \rangle $$

Vérifions à présent si ces trois vecteurs sont linéairement indépendants. Considérons l’équation :

$$ k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + k_4\vec{v}_4 = \vec{0} $$

qui donne le système :

$$ \begin{cases} k_1 - 3k_4 = 0 \\ 2k_2 + 4k_4 = 0 \\ -\,k_1 + k_2 + k_4 = 0 \\ 2k_1 + k_2 + 4k_4 = 0 \end{cases} $$

La matrice des coefficients correspondante est :

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$

Vérification - Un mineur d’ordre 3 a un déterminant non nul :

$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = -8 \neq 0 $$

Le système n’admet donc que la solution triviale :

$$ \infty^{n - r} = \infty^0 = 1 \quad \Rightarrow \text{solution unique (triviale)} $$

Les vecteurs $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ et $\vec{v}_4$ sont donc linéairement indépendants et forment une base du sous-espace $W$ :

$$ B_W = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , \vec{v}_4 \} $$

Comme cette base contient trois vecteurs, la dimension de $W$ est :

$$ \dim W = 3 $$