Elke metrische ruimte is een Hausdorffruimte
Elke metrische ruimte bezit automatisch de Hausdorffeigenschap. Omgekeerd geldt dat een topologische ruimte die deze eigenschap niet heeft, niet door een metriek kan worden geïnduceerd.
Een Hausdorffruimte is een topologische ruimte waarin elk paar verschillende punten van elkaar kan worden gescheiden door disjuncte open verzamelingen.
Intuïtief betekent dit dat twee verschillende punten altijd een eigen “omgeving” kunnen krijgen zonder overlapping.
Zodra in een ruimte een afstandsfunctie bestaat, is deze eigenschap automatisch gegarandeerd. Dat verklaart waarom alle metrische ruimten Hausdorffruimten zijn.
Opmerking : De Hausdorffeigenschap moet gelden voor elk paar verschillende punten, zonder uitzondering.
Een concreet voorbeeld in \(\mathbb{R}^2\)
Beschouw het euclidische vlak \(\mathbb{R}^2\), voorzien van de gebruikelijke afstand tussen twee punten \(x = (x_1, x_2)\) en \(y = (y_1, y_2)\):
$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$
Met deze afstand wordt \(\mathbb{R}^2\) een metrische ruimte.
In zo’n ruimte kunnen twee verschillende punten altijd worden gescheiden door disjuncte open verzamelingen.
Neem bijvoorbeeld twee punten \(A = (x_1, y_1)\) en \(B = (x_2, y_2)\), met \(A \neq B\).
Omdat de punten verschillend zijn, is hun afstand strikt positief:
$$ d(A, B) > 0 $$
Kies nu een straal gelijk aan de helft van deze afstand:
$$ r = d(A, B) / 2 $$
Definieer vervolgens twee open bollen met straal \(r\), respectievelijk gecentreerd in \(A\) en \(B\):
- \(U = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, A) < r \}\)
- \(V = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, B) < r \}\)
Deze verzamelingen zijn disjunct:
$$ U \cap V = \varnothing $$
Elk punt van \(U\) ligt namelijk dichter bij \(A\) dan bij \(B\), terwijl elk punt van \(V\) dichter bij \(B\) ligt dan bij \(A\).
Daarom kunnen de twee open bollen elkaar niet overlappen.
Dit argument werkt voor elk paar verschillende punten. Daarom is \(\mathbb{R}^2\), uitgerust met de euclidische metriek, een Hausdorffruimte.
Een topologie die niet Hausdorff is
Niet elke topologische ruimte heeft de Hausdorffeigenschap.
Beschouw bijvoorbeeld \(\mathbb{R}\) met de cofiniete topologie.
In deze topologie is een deelverzameling \(U \subseteq \mathbb{R}\) open wanneer:
- \(U = \varnothing\), of
- het complement \(\mathbb{R} \setminus U\) eindig is.
Dat betekent dat een open verzameling bijna alle punten van \(\mathbb{R}\) bevat.
Neem twee verschillende punten \(x, y \in \mathbb{R}\).
We proberen twee disjuncte open verzamelingen \(U\) en \(V\) te vinden die respectievelijk \(x\) en \(y\) bevatten.
Maar elke open verzameling bevat bijna alle reële getallen. Daardoor bevatten ook \(U\) en \(V\) bijna alle punten van \(\mathbb{R}\).
Hun doorsnede bevat dus noodzakelijk oneindig veel punten:
$$ U \cap V \neq \varnothing $$
Het is daarom onmogelijk om \(x\) en \(y\) van elkaar te scheiden door disjuncte open verzamelingen.
Concreet voorbeeld
Neem \(x = 1\) en \(y = 2\).
Definieer:
- $$ U = \mathbb{R} \setminus (2-\epsilon, 2+\epsilon) $$
- $$ V = \mathbb{R} \setminus (1-\epsilon, 1+\epsilon) $$
De verzameling \(U\) bevat bijna alle reële getallen behalve een kleine omgeving rond \(2\). Op dezelfde manier bevat \(V\) bijna alle punten behalve een kleine omgeving rond \(1\).
Hun doorsnede is:
$$ U \cap V = \mathbb{R} \setminus \left[(2 - \epsilon, 2 + \epsilon) \cup (1 - \epsilon, 1 + \epsilon)\right] $$
Deze verzameling is niet leeg:
$$ U \cap V \ne \emptyset $$
De punten \(1\) en \(2\) kunnen dus niet worden gescheiden door disjuncte open verzamelingen.
Daaruit volgt dat \((\mathbb{R}, \text{cofiniete topologie})\) geen Hausdorffruimte is.
Bijgevolg kan deze topologie niet door een metriek worden geïnduceerd.
Algemeen bewijs
Laat \((X,d)\) een metrische ruimte zijn en neem twee verschillende punten \(x,y \in X\).
Omdat \(x \ne y\), geldt:
$$ d(x,y) > 0 $$
Stel:
$$ \varepsilon = d(x,y) $$
Beschouw nu de open bollen met straal \(\varepsilon/2\):
- \(U = \{z \in X : d(x,z) < \varepsilon/2\}\)
- \(V = \{z \in X : d(y,z) < \varepsilon/2\}\)
We tonen aan dat deze verzamelingen disjunct zijn.
Veronderstel het tegendeel. Neem een punt \(z \in U \cap V\).
Dan geldt:
- \(d(x,z) < \varepsilon/2\)
- \(d(z,y) < \varepsilon/2\)
Volgens de driehoeksongelijkheid volgt:
$$ d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) $$
Dus:
$$ d(x,y) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon $$
Maar dit is onmogelijk, omdat \(d(x,y) = \varepsilon\).
Daarom kunnen \(U\) en \(V\) geen gemeenschappelijk punt bevatten.
We concluderen dus dat in elke metrische ruimte twee verschillende punten altijd kunnen worden gescheiden door disjuncte open verzamelingen.
Elke metrische ruimte is dus een Hausdorffruimte.
Het bewijs is daarmee voltooid.
