Metryzowalność a homeomorfizmy przestrzeni topologicznych
Jeżeli przestrzeń topologiczna \( X \) jest metryzowalna, a przestrzeń \( Y \) jest z nią homeomorficzna, to przestrzeń \( Y \) również jest metryzowalna.
Metryzowalność jest więc własnością zachowywaną przez homeomorfizmy.
Oznacza to, że jeśli dana przestrzeń topologiczna może zostać opisana za pomocą metryki, to każda przestrzeń homeomorficzna z nią także będzie metryzowalna.
W praktyce jest to bardzo użyteczna własność. Jeżeli wiadomo już, że przestrzeń \( X \) jest metryzowalna, a następnie rozpatruje się przestrzeń \( Y \) homeomorficzną z \( X \), nie ma potrzeby konstruowania nowej metryki od podstaw. Sam fakt istnienia homeomorfizmu pozwala stwierdzić, że przestrzeń \( Y \) również jest metryzowalna.
Dlaczego tak się dzieje?
Przestrzeń topologiczna \( X \) jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje metryka \( d \), która indukuje jej topologię. Innymi słowy, strukturę topologiczną przestrzeni można całkowicie opisać za pomocą pojęcia odległości.
Kluczową rolę odgrywa tutaj pojęcie homeomorfizmu. Jest to bijekcja pomiędzy dwiema przestrzeniami topologicznymi \( X \) i \( Y \), która jest ciągła oraz posiada ciągłą funkcję odwrotną.
Takie odwzorowanie zachowuje strukturę topologiczną przestrzeni. Z punktu widzenia topologii przestrzenie \( X \) i \( Y \) mają więc dokładnie te same podstawowe własności.
Jeżeli przestrzeń \( X \) posiada metrykę \( d \), która wyznacza jej topologię, to dzięki homeomorfizmowi można przenieść tę strukturę również na przestrzeń \( Y \). W rezultacie przestrzeń \( Y \) także staje się metryzowalna.
Metryzowalność jest zatem niezmiennikiem topologicznym względem homeomorfizmów. Każda przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią metryzowalną również musi być metryzowalna.
Przykład
Rozważmy prostą rzeczywistą \( \mathbb{R} \) wyposażoną w standardową topologię indukowaną przez metrykę euklidesową oraz przedział otwarty \( (-1,1) \).
Wiadomo, że przestrzeń \( \mathbb{R} \) jest metryzowalna względem standardowej metryki
\[ d(x,y)=|x-y| \]
Zdefiniujmy funkcję
\[ f : \mathbb{R} \to (-1,1) \]
wzorem
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]
Funkcja ta jest homeomorfizmem. Jest ciągła, bijektywna, a jej funkcja odwrotna również jest ciągła.
Oznacza to, że odwzorowanie \( f \) zachowuje strukturę topologiczną obu przestrzeni i ustanawia pomiędzy nimi wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość.
Skoro więc \( \mathbb{R} \) jest przestrzenią metryzowalną, to również przedział \( (-1,1) \), który jest z nią homeomorficzny, musi być metryzowalny.
W praktyce przedział \( (-1,1) \) można wyposażyć w metrykę euklidesową ograniczoną do tego przedziału.
Dokładnie to samo rozumowanie można zastosować do dowolnych dwóch przestrzeni homeomorficznych.
