Równoważność metryczna
Dwie przestrzenie metryczne nazywamy równoważnymi metrycznie, jeżeli istnieje odwzorowanie \(f : X \to Y\), które spełnia dwa podstawowe warunki:
- Bijektywność : każdemu elementowi przestrzeni \(X\) odpowiada dokładnie jeden element przestrzeni \(Y\), i odwrotnie.
- Izometria : dla dowolnych punktów \(x_1, x_2 \in X\) odległość między nimi w przestrzeni \(X\) jest dokładnie taka sama jak odległość między ich obrazami \(f(x_1)\) oraz \(f(x_2)\) w przestrzeni \(Y\): $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
Jeżeli takie odwzorowanie istnieje, mówimy, że przestrzenie \(X\) oraz \(Y\) są izometryczne, czyli równoważne metrycznie.
Równoważność metryczna służy do porównywania przestrzeni metrycznych pod kątem sposobu mierzenia odległości. Innymi słowy, sprawdzamy, czy dwie przestrzenie mają identyczną strukturę geometryczną z punktu widzenia metryki.
- Jeżeli dwie przestrzenie są izometryczne, mają również tę samą topologię. Oznacza to, że wyznaczają identyczne zbiory otwarte, a więc posiadają tę samą ogólną strukturę przestrzeni.
- Nie działa to jednak w drugą stronę. Dwie przestrzenie mogą mieć tę samą topologię, a mimo to nie być izometryczne.
- Izometria jest warunkiem silniejszym niż równoważność topologiczna, ponieważ wymaga dokładnego zachowania wszystkich odległości między punktami, a nie jedynie zgodności zbiorów otwartych.
Przykład
Rozważmy dwie przestrzenie metryczne:
- \(X = \{a, b, c\}\), z metryką \(d_X\) określoną następująco: $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\), z metryką \(d_Y\) daną przez: $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Zdefiniujmy odwzorowanie:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Sprawdźmy teraz, czy odległości zostały zachowane:
- \(d_X(a, b) = 1\) oraz \(d_Y(f(a), f(b)) = d_Y(p, q) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\) oraz \(d_Y(f(b), f(c)) = d_Y(q, r) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\) oraz \(d_Y(f(a), f(c)) = d_Y(p, r) = 3\)
Widzimy więc, że wszystkie odległości pozostają identyczne. Oznacza to, że odwzorowanie \(f\) jest izometrią, a przestrzenie \(X\) i \(Y\) są równoważne metrycznie.
Przykład 2
Na płaszczyźnie można zdefiniować różne sposoby mierzenia odległości między punktami. Dwa najbardziej znane przykłady to:
- metryka taksówkowa (\(d_T\))
- standardowa metryka euklidesowa (\(d\))
Obie metryki indukują tę samą topologię, czyli generują te same zbiory otwarte. Powstaje jednak pytanie: czy oznacza to, że są izometryczne?
W metryce taksówkowej odległość definiuje się następująco:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Metryka ta opisuje drogę podobną do poruszania się po ulicach miasta ułożonych w regularną siatkę. Można poruszać się jedynie poziomo i pionowo.
Z kolei metryka euklidesowa mierzy najkrótszą odległość między punktami, czyli odległość w linii prostej:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Załóżmy teraz, że istnieje odwzorowanie zachowujące odległości dla obu tych metryk. Rozważmy punkty \(A = (1, 1)\) oraz \(B = (2, 2)\).
W metryce taksówkowej otrzymujemy:
$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = |2 - 1| + |2 - 1| = 2 $$
Natomiast w metryce euklidesowej:
$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
Wartości odległości są różne. Oznacza to, że nie istnieje izometria, która zachowuje jednocześnie obie metryki.
Dlatego płaszczyzna wyposażona w metrykę taksówkową nie jest izometryczna z płaszczyzną wyposażoną w metrykę euklidesową.
Podsumowując, dwie metryki mogą wyznaczać tę samą topologię, ale mimo to opisywać zupełnie inną geometrię przestrzeni.
