Przestrzeń metryzowalna
Przestrzeń metryzowalna to przestrzeń topologiczna \( X \), dla której istnieje metryka \( d \), indukująca dokładnie topologię przestrzeni \( X \).
Innymi słowy, topologia tej przestrzeni może zostać całkowicie opisana za pomocą pojęcia odległości między punktami.
Metryka \( d \) określona na zbiorze \( X \) jest funkcją \( d : X \times X \to [0, \infty) \), spełniającą następujące aksjomaty:
- nieujemność,
- symetrię,
- nierówność trójkąta,
- warunek \( d(x, y) = 0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( x = y \).
Topologia indukowana przez metrykę \( d \) jest definiowana w taki sposób, że jej zbiorami otwartymi są dowolne sumy kul otwartych postaci:
$$ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $$
gdzie \( r > 0 \) oznacza promień kuli.
Można więc powiedzieć, że przestrzeń topologiczna jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje metryka, której kule otwarte generują dokładnie tę samą topologię.
Uwaga: Oznacza to, że każdy zbiór otwarty można przedstawić jako sumę, również nieskończoną, kul otwartych wyznaczonych przez daną metrykę.
Nie każda przestrzeń topologiczna jest jednak metryzowalna. Przykładowo, topologia niehausdorffowa nie może być indukowana przez żadną metrykę.
Przykład: prosta rzeczywista
Rozważmy prostą rzeczywistą \( \mathbb{R} \) wyposażoną w standardową topologię.
W tej topologii zbiorami otwartymi są dowolne sumy przedziałów otwartych \( (a, b) \), gdzie \( a, b \in \mathbb{R} \) oraz \( a < b \).
Na zbiorze \( \mathbb{R} \) definiujemy standardową metrykę:
$$ d(x, y) = |x - y| $$
czyli wartość bezwzględną różnicy liczb \( x \) i \( y \).
Dla tej metryki kula otwarta o środku w punkcie \( x \) i promieniu \( r \) ma postać:
$$ B_r(x) = \{ y \in \mathbb{R} : d(x, y) < r \} = (x - r, x + r) $$
Otrzymujemy więc zwykły przedział otwarty.
Ponieważ każdy zbiór otwarty w \( \mathbb{R} \) można zapisać jako sumę takich przedziałów, a przedziały te są dokładnie kulami otwartymi wyznaczonymi przez metrykę \( d \), wynika stąd, że \( \mathbb{R} \) jest przestrzenią metryzowalną.
Przykład 2: topologia dyskretna
Rozważmy teraz dowolny zbiór \( X \), skończony lub nieskończony, wyposażony w topologię dyskretną.
W topologii dyskretnej każdy podzbiór zbioru \( X \) jest otwarty.
Definiujemy na \( X \) następującą metrykę:
$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } x = y, \\
1 & \text{gdy } x \neq y.
\end{cases}
$$
Jest to tzw. metryka dyskretna.
Sprawdźmy teraz, jak wyglądają kule otwarte w tej metryce.
- Jeśli \( r \leq 1 \), to:
$$ B_r(x) = \{ x \} $$
Wyjaśnienie: Gdy \( r \leq 1 \), nierówność \( d(x, y) < r \) może być spełniona wyłącznie wtedy, gdy \( d(x, y) = 0 \). Oznacza to, że \( y = x \), więc kula otwarta zawiera tylko jeden punkt.
- Jeśli \( r > 1 \), to:
$$ B_r(x) = X $$
Wyjaśnienie: W tym przypadku zarówno \( d(x, y) = 0 \), jak i \( d(x, y) = 1 \) spełniają warunek \( d(x, y) < r \). Kula otwarta zawiera więc wszystkie punkty zbioru \( X \).
Zbiory \( \{ x \} \) oraz \( X \) są otwarte w topologii dyskretnej.
Ponieważ każdy zbiór otwarty można przedstawić jako sumę kul otwartych wyznaczonych przez metrykę dyskretną, otrzymujemy wniosek, że przestrzeń \( X \) z topologią dyskretną również jest przestrzenią metryzowalną.
W tym przypadku metryka w bardzo prosty sposób odzwierciedla strukturę topologiczną przestrzeni.
Ważne własności przestrzeni metryzowalnych
- Jeżeli przestrzeń topologiczna \( X \) jest metryzowalna, a przestrzeń \( Y \) jest z nią homeomorficzna, to \( Y \) również jest metryzowalna
Metryzowalność jest więc własnością topologiczną zachowywaną przez homeomorfizmy. Oznacza to, że jeśli dwie przestrzenie są topologicznie równoważne, to metryzowalność jednej z nich automatycznie pociąga za sobą metryzowalność drugiej. - Twierdzenie Urysohna o metryzowalności
Przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, jeśli jest regularna i posiada przeliczalną bazę topologii. Twierdzenie to dostarcza jednego z najważniejszych kryteriów pozwalających określić, czy dana topologia może zostać opisana za pomocą odpowiedniej metryki.
