Odległość między zbiorami

Odległość między dwoma zbiorami $A$ i $B$ w przestrzeni metrycznej $(X, d)$ to najmniejsza możliwa odległość pomiędzy punktem należącym do zbioru $A$ a punktem należącym do zbioru $B$: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \}, $$ gdzie $d(a, b)$ oznacza odległość między punktami $a$ i $b$ wyznaczoną przez metrykę $d$, natomiast symbol $\inf$ oznacza infimum, czyli kres dolny zbioru wszystkich rozważanych odległości.

Aby obliczyć tę odległość, rozpatruje się wszystkie możliwe pary punktów, w których jeden punkt należy do zbioru $A$, a drugi do zbioru $B$. Następnie analizuje się, jak mała może być odległość między takimi punktami.

Inaczej mówiąc, odległość między zbiorami określa najmniejszą wartość, do której mogą zbliżać się odległości pomiędzy ich elementami.

Uwaga: Odległość między zbiorami informuje o tym, jak blisko mogą znajdować się elementy obu zbiorów. Nie oznacza jednak automatycznie, że zbiory mają punkt wspólny albo że się stykają.

Kiedy odległość jest równa zeru?

Jeżeli $d(A, B) = 0$, oznacza to, że można znaleźć punkty zbiorów $A$ i $B$ dowolnie blisko siebie. Nie wynika z tego jednak, że punkty te się pokrywają ani że zbiory mają część wspólną.

Dlatego może się zdarzyć, że $d(A, B) = 0$, mimo że zbiory są rozłączne, czyli gdy:

$$ A \cap B = \emptyset $$

Przykład ilustracyjny

Rozważmy dwa zbiory $A$ i $B$ w przestrzeni metrycznej określonej na prostej rzeczywistej z metryką euklidesową:

$$ d(x_1, x_2) = |x_1 - x_2| $$

Przeanalizujmy trzy różne sytuacje.

A] Przypadek 1

Niech:

$$ A = \{0\}, \qquad B = [1,2] $$

W tym przypadku odległość między zbiorami wynosi:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(0,1) = 1 $$

Punkt $0$, należący do zbioru $A$, znajduje się dokładnie w odległości jednej jednostki od najbliższego punktu zbioru $B$, czyli punktu $1$.

odległość między pojedynczym punktem a przedziałem domkniętym

B] Przypadek 2

Niech:

$$ A = [0,1], \qquad B = [1,2] $$

Wtedy:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(1,1) = 0 $$

Oba zbiory mają wspólny punkt $1$, dlatego ich odległość jest równa zeru.

przedziały domknięte przecinające się w jednym punkcie

Zbiory nie są więc rozłączne, ponieważ:

$$ A \cap B = \{1\} $$

C] Przypadek 3

Niech:

$$ A = (0,1), \qquad B = (1,2) $$

Odległość między tymi zbiorami również wynosi zero:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} $$

Tym razem przedziały są otwarte i nie mają punktów wspólnych, ponieważ punkt $1$ nie należy ani do $A$, ani do $B$.

$$ A \cap B = \emptyset $$

Mimo to można wybierać punkty $a \in A$ i $b \in B$ coraz bliższe punktowi $1$, dzięki czemu wartość $|a-b|$ może być dowolnie mała.

przedziały otwarte, które się nie stykają, mimo że ich odległość jest równa zeru

Elementy zbioru $A$ mogą zbliżać się do punktu $1$ z lewej strony, natomiast elementy zbioru $B$ z prawej strony. Punkt $1$ nigdy jednak nie należy do tych zbiorów, ponieważ oba przedziały są otwarte.

Dlatego:

$$ d(A, B) = \inf \{ |a-b| \mid a \in A, b \in B \} = |1-1| = 0 $$

To pokazuje, że dwa zbiory mogą mieć odległość równą zeru nawet wtedy, gdy się nie przecinają i nie mają żadnych wspólnych elementów.

Uwaga: Odległość równa zeru nie oznacza, że zbiory są identyczne. Oznacza jedynie, że ich elementy mogą zbliżać się do siebie dowolnie mocno, niezależnie od tego, czy zbiory faktycznie mają część wspólną.

I tak dalej.