Przestrzeń metryczna

Czym jest przestrzeń metryczna?

Przestrzeń metryczna to para \( (X,d) \), gdzie \( X \) jest dowolnym zbiorem, a \( d \) funkcją nazywaną metryką. Funkcja ta każdej parze punktów \( x,y \in X \) przyporządkowuje nieujemną liczbę rzeczywistą \( d(x,y) \), interpretowaną jako odległość między punktami \( x \) i \( y \). Tę strukturę zapisuje się standardowo w postaci \( (X,d) \). $$ (X,d) $$

Przestrzeń metryczna jest jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej i topologii. Pozwala formalnie opisywać odległości między elementami zbioru, a dzięki temu badać takie własności jak ciągłość, zbieżność czy zwartość.

Aby funkcję można było uznać za metrykę, musi ona spełniać trzy podstawowe aksjomaty:

1. Nieujemność : \( d(x,y) \geq 0 \) dla wszystkich \( x,y \in X \), przy czym \( d(x,y)=0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( x=y \). Oznacza to, że odległość punktu od samego siebie jest równa zeru, natomiast między różnymi punktami zawsze jest dodatnia.
2. Symetria : \( d(x,y)=d(y,x) \) dla wszystkich \( x,y \in X \). Kolejność punktów nie ma więc wpływu na wartość odległości.
3. Nierówność trójkąta : \( d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \) dla wszystkich \( x,y,z \in X \). Innymi słowy, droga „na skróty" między dwoma punktami nigdy nie jest dłuższa niż droga prowadząca przez punkt pośredni.

W praktyce przestrzeń metryczna to po prostu zbiór wyposażony w funkcję odległości. Taki model może opisywać zarówno prosty zbiór punktów, jak i bardzo złożone przestrzenie wykorzystywane w nowoczesnej matematyce.

Przestrzenie metryczne odgrywają szczególnie ważną rolę w analizie matematycznej, geometrii, topologii oraz analizie funkcjonalnej.

Przykład przestrzeni metrycznej

Najbardziej znanym przykładem przestrzeni metrycznej jest przestrzeń euklidesowa \( \mathbb{R}^n \), czyli klasyczna przestrzeń geometryczna.

Dla \( n=2 \) otrzymujemy płaszczyznę kartezjańską, natomiast dla \( n=3 \) zwykłą przestrzeń trójwymiarową.

Rozważmy przestrzeń \( \mathbb{R}^2 \).

Metryka euklidesowa \( d \) dla punktów \( p=(p_1,p_2) \) oraz \( q=(q_1,q_2) \) jest zdefiniowana wzorem:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

Wzór ten określa odległość euklidesową, czyli długość najkrótszego odcinka łączącego punkty \( p \) i \( q \).

Metryka euklidesowa spełnia wszystkie aksjomaty przestrzeni metrycznej:

1. Nieujemność : Pierwiastek z sumy kwadratów jest zawsze liczbą nieujemną i przyjmuje wartość zero wyłącznie wtedy, gdy \( p=q \).
2. Symetria : Ponieważ \( (p_1-q_1)^2=(q_1-p_1)^2 \), otrzymujemy \( d(p,q)=d(q,p) \).
3. Nierówność trójkąta : Własność tę można uzasadnić przy pomocy twierdzenia Pitagorasa oraz podstawowych własności geometrii euklidesowej.

Dlatego przestrzeń \( (\mathbb{R}^2,d) \), wyposażona w metrykę euklidesową, jest klasycznym przykładem przestrzeni metrycznej.

Funkcja odległości, czyli metryka

Co dokładnie oznacza pojęcie funkcji odległości?

Metryka, czyli funkcja odległości, jest funkcją \( d(x_1,x_2) \), która spełnia następujące warunki:

\( d(x_1,x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1,x_2)=0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( x_1=x_2 \)
\( d(x_1,x_2)=d(x_2,x_1) \)
\( d(x_1,x_2)\leq d(x_1,x_3)+d(x_3,x_2) \)

dla wszystkich \( x_1,x_2,x_3 \in X \).

Rodzaje metryk

Nie istnieje jeden uniwersalny sposób definiowania odległości. W zależności od problemu matematycznego można stosować różne metryki.

Metryka euklidesowa

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

Jest to najbardziej klasyczna metryka i podstawa geometrii euklidesowej.

Metryka Manhattan

Nazywana również „metryką taksówkową", opisuje poruszanie się po siatce ulic, gdzie możliwe są wyłącznie ruchy poziome i pionowe, podobnie jak w układzie ulic Manhattanu.

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

Metryka dyskretna

W tej metryce dwa różne punkty mają odległość równą 1, natomiast odległość punktu od samego siebie wynosi 0.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: gdy \: x = y \\ 1 \:\:\: gdy \: x \ne y \end{cases} $$

Metryka indukowana przez normę

Norma pozwala w naturalny sposób zdefiniować funkcję odległości.

W takim przypadku mówi się o metryce indukowanej przez normę.

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

Normę wektora można interpretować jako jego odległość od początku układu współrzędnych.

Oznacza to, że każda przestrzeń wektorowa wyposażona w normę staje się automatycznie przestrzenią metryczną.

Uwaga : Zależność odwrotna nie jest na ogół prawdziwa. Nie każda metryka pochodzi od normy.

Kiedy metryka jest indukowana przez normę?

Metrykę nazywa się indukowaną przez normę, jeżeli spełnia następujące warunki:

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

gdzie \( v_1, v_2, v_3 \) są wektorami przestrzeni wektorowej \( V \), natomiast \( k \in K \) jest skalarem.

Pierwszy warunek oznacza niezmienniczość metryki względem przesunięć, natomiast drugi opisuje jej zgodność ze skalowaniem wektorów.

Przykład

Norma euklidesowa spełnia oba powyższe warunki, dlatego rzeczywiście indukuje metrykę euklidesową.

Rozważmy trzy wektory \( v_1, v_2, v_3 \) w przestrzeni \( \mathbb{R}^2 \) :

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

Ich normy euklidesowe są równe:

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 $$

Otrzymujemy więc następujące odległości od początku układu współrzędnych :

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_V) = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_V) = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_V) = 3 $$

Z definicji wynika, że \( ||v|| = d(v,0_V) \), jeżeli spełnione są następujące warunki:
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

Weryfikacja pierwszego warunku

$$ d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) $$ $$ d(10 + 3, 5 + 3) = d(10, 5) $$ $$ d(13, 8) = d(10, 5) $$

Obliczamy lewą stronę:

$$ d(13, 8) = \sqrt{(13 - 8)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

oraz prawą stronę:

$$ d(10, 5) = \sqrt{(10 - 5)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Ponieważ obie strony są równe, pierwszy warunek jest spełniony.

Weryfikacja drugiego warunku

$$ d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) $$ $$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) $$

Przyjmijmy \( k = 2 \) :

$$ d(20, 10) = 2 \cdot d(10, 5) $$

Wówczas otrzymujemy:

$$ d(20, 10) = \sqrt{(20 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

oraz

$$ 2 \cdot d(10, 5) = 2 \cdot 5 = 10 $$

Zatem:

$$ d(k \cdot 10, k \cdot 5) = |k| \cdot d(10, 5) = 10 \quad \text{dla } k = 2 $$

Drugi warunek również jest spełniony.

Wniosek : w przestrzeni euklidesowej metryka jest rzeczywiście indukowana przez normę.

Dodatkowe uwagi

Poniżej przedstawiono kilka ważnych własności i twierdzeń związanych z przestrzeniami metrycznymi.

• Zbiór ograniczony w przestrzeni metrycznej
  Niech \((X,d)\) będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór \(A \subseteq X\) nazywa się ograniczonym, jeżeli istnieją liczba rzeczywista \(\mu > 0\) oraz punkt \(x_0 \in X\) takie, że: $$ d(x, x_0) \leq \mu \quad \text{dla każdego } x \in A $$ Oznacza to, że wszystkie punkty zbioru \(A\) mieszczą się wewnątrz pewnej kuli o skończonym promieniu i środku w punkcie \(x_0\).

  W topologii indukowanej przez metrykę \(d\) ograniczoność zbioru zależy wyłącznie od odległości między jego elementami, a nie od tego, czy zbiór jest otwarty lub domknięty.

• Metryka ograniczona
  Jeżeli cały zbiór \(X\) jest ograniczony, wówczas metrykę \(d\) nazywa się metryką ograniczoną.
• Twierdzenie o bazie topologii indukowanej przez metrykę
  W przestrzeni metrycznej \((X,d)\) rodzina kul otwartych $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$ tworzy bazę topologii.
• Twierdzenie o ciągłości w przestrzeniach metrycznych
  Funkcja \(f : X \to Y\) między przestrzeniami metrycznymi \((X,d_X)\) oraz \((Y,d_Y)\) jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(x \in X\) i każdego \(\varepsilon > 0\) istnieje liczba \(\delta > 0\) taka, że: $$ d_X(x, x') < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$ dla każdego \(x' \in X\).
• Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią Hausdorffa
  Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią Hausdorffa. W szczególności przestrzeń topologiczna, która nie spełnia tego warunku, nie może być metryzowalna.

  Uwaga : Przestrzeń nazywa się przestrzenią Hausdorffa, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych punktów istnieją rozłączne zbiory otwarte zawierające odpowiednio każdy z tych punktów.

I tak dalej...