Zbiór ograniczony w przestrzeni metrycznej

W przestrzeni metrycznej \((X, d)\), gdzie \(d\) oznacza funkcję mierzącą odległość między punktami, podzbiór \(A \subseteq X\) nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje liczba rzeczywista dodatnia \(\mu > 0\) taka, że dla dowolnych punktów \(x, y \in A\) zachodzi nierówność \(d(x, y) \leq \mu\).

Mówiąc prościej, wszystkie punkty zbioru \(A\) znajdują się w pewnym obszarze o skończonym rozmiarze. Żadne dwa punkty tego zbioru nie mogą być od siebie oddalone bardziej niż o ustaloną wartość \(\mu\).

Jeżeli sama przestrzeń \(X\) jest ograniczona względem metryki \(d\), wtedy mówimy, że \(d\) jest metryką ograniczoną.

Oznacza to, że odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami przestrzeni nigdy nie przekracza pewnej stałej wartości.

Uwaga: Jeżeli metryka \(d\) jest ograniczona, to każdy podzbiór przestrzeni \(X\) również jest ograniczony. Odległości między punktami podzbioru nie mogą przecież być większe niż odległości występujące w całej przestrzeni.

Przykład

Rozważmy płaszczyznę kartezjańską \(\mathbb{R}^2\) wyposażoną w standardową metrykę euklidesową.

Odległość między punktami \((x_1, y_1)\) oraz \((x_2, y_2)\) opisuje wzór:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Niech teraz \(A \subseteq \mathbb{R}^2\) oznacza zbiór wszystkich punktów \((x, y)\), które znajdują się wewnątrz koła o promieniu \(10\) i środku w początku układu współrzędnych lub na jego brzegu:

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

Aby sprawdzić, czy zbiór jest ograniczony, musimy ustalić, czy istnieje liczba \(\mu\), która ogranicza odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami tego zbioru.

Największa możliwa odległość pojawia się wtedy, gdy punkty leżą na końcach średnicy koła, na przykład w punktach \((10, 0)\) oraz \((-10, 0)\).

W takim przypadku:

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{400} = 20 $$

Otrzymujemy więc maksymalną odległość równą \(20\). Oznacza to, że niezależnie od wyboru dwóch punktów w obrębie koła ich odległość nigdy nie będzie większa.

Możemy zatem stwierdzić, że zbiór \(A\) jest ograniczony, przy czym \(\mu = 20\).

Dlaczego ograniczoność metryki nie zmienia topologii?

W topologii bardzo ważne jest to, że ograniczoność metryki nie wpływa na strukturę przestrzeni z punktu widzenia zbiorów otwartych i domkniętych.

Czym jest topologia? Topologia jest działem matematyki badającym własności przestrzeni, które pozostają niezmienne mimo ciągłych deformacji. W praktyce opisuje ona strukturę zbiorów otwartych, domkniętych oraz sposób „ułożenia" punktów w przestrzeni.

Może się więc zdarzyć, że jedna metryka jest ograniczona, a inna nie, mimo że obie wyznaczają dokładnie tę samą topologię.

Innymi słowy, zmiana skali odległości nie musi zmieniać własności topologicznych przestrzeni.

Jak zbudować metrykę ograniczoną?

Jeżeli mamy metrykę nieograniczoną, można przekształcić ją w metrykę ograniczoną za pomocą odpowiedniej transformacji „ściskającej" duże odległości.

Jednym z najczęściej stosowanych przekształceń jest:

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

Jak działa to przekształcenie?

Dla małych odległości nowa metryka zachowuje się niemal identycznie jak metryka początkowa.

Na przykład dla \(d(x, y) = 1\):

$$ d'(x, y) = \frac{1}{1 + 1} = 0{,}5 $$

Natomiast gdy odległość staje się bardzo duża i dąży do nieskończoności, wartość \(d'(x, y)\) zbliża się do \(1\).

W rezultacie wszystkie odległości zostają sprowadzone do przedziału \([0, 1)\).

Najważniejsze jest jednak to, że mimo tej zmiany topologia przestrzeni pozostaje dokładnie taka sama.

Przykład transformacji

Rozważmy przestrzeń metryczną \((X, d)\) z klasyczną metryką:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Metryka ta nie jest ograniczona, ponieważ odległości mogą być dowolnie duże.

Po zastosowaniu transformacji otrzymujemy:

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

Dla \(x = 1\) oraz \(y = 2\):

$$ d'(1, 2) = \frac{1}{1 + 1} = 0{,}5 $$

Natomiast dla \(x = 1\) oraz \(y = 1000\):

$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1 + 999} = 0{,}999 $$

Niezależnie od przypadku nowa odległość zawsze pozostaje mniejsza od \(1\).

Mimo to zbiory otwarte i domknięte wyznaczone przez \(d\) oraz \(d'\) pozostają identyczne, a więc obie metryki opisują tę samą topologię.

I tak dalej...