Topologia metryczna

Topologia metryczna na przestrzeni \( X \) jest wyznaczana przez bazę złożoną z kul otwartych definiowanych za pomocą metryki \( d \) na \( X \). Nazywa się ją również topologią indukowaną przez metrykę \( d \).

W przestrzeni metrycznej \( (X, d) \) funkcja \( d \) określa odległość między punktami przestrzeni \( X \). Na podstawie tej odległości można zbudować topologię, czyli strukturę pozwalającą opisywać pojęcia bliskości, ciągłości i zbiorów otwartych.

Podstawowym elementem topologii metrycznej jest kula otwarta.

Kula otwarta o środku w punkcie \( x \in X \) i promieniu \( \varepsilon > 0 \) to zbiór wszystkich punktów \( y \in X \), których odległość od \( x \) jest mniejsza niż \( \varepsilon \):

$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$

W topologii metrycznej zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić jako sumę, być może nieskończoną, kul otwartych.

Innymi słowy, zbiór \( U \subset X \) jest otwarty w topologii indukowanej przez metrykę \( d \), jeśli dla każdego punktu \( y \in U \) istnieje promień \( \delta > 0 \), taki że kula \( B_d(y, \delta) \) zawiera się całkowicie w \( U \).

Przykład na prostej rzeczywistej

Rozważmy prostą rzeczywistą \(\mathbb{R}\), wyposażoną w standardową metrykę euklidesową.

Zbiór \(\mathbb{R}\) zawiera wszystkie liczby rzeczywiste, a odległość między punktami \(x\) i \(y\) definiuje wzór:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

gdzie \(|x - y|\) oznacza wartość bezwzględną różnicy liczb \(x\) i \(y\).

Funkcja ta spełnia wszystkie aksjomaty metryki, dlatego może być używana do definiowania kul otwartych.

Weźmy punkt \(x = 3\) oraz promień \(\varepsilon = 1\).

Odpowiadająca im kula otwarta ma postać:

$$ B_d(3, 1) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(3, y) < 1\} = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 1\} $$

Rozwiązując nierówność \( |3 - y| < 1 \), otrzymujemy:

$$ 2 < y < 4 $$

Zatem:

$$ B_d(3, 1) = (2, 4) $$

Oznacza to, że kula otwarta o środku w punkcie \(3\) i promieniu \(1\) odpowiada przedziałowi otwartemu \((2,4)\) na prostej rzeczywistej.

Przedziały otwarte, takie jak \( (2,4) \), \( (5,7) \) czy bardziej ogólnie dowolny przedział \((a,b)\), można interpretować jako kule otwarte lub sumy kul otwartych związanych z metryką \( d(x,y)=|x-y| \).

To właśnie takie przedziały tworzą bazę topologii metrycznej na \(\mathbb{R}\).

Uwaga. Zbiór \((0,5)\) jest otwarty, ponieważ wokół każdego punktu tego przedziału można wyznaczyć mały przedział pozostający całkowicie wewnątrz zbioru. Żaden punkt nie „dotyka” brzegu zbioru.

Metryka \(d(x,y)=|x-y|\) indukuje więc standardową topologię na prostej rzeczywistej, zwaną topologią metryczną przestrzeni \(\mathbb{R}\).

Zbiory otwarte w topologii metrycznej

W topologii metrycznej podzbiór \( U \subset X \) nazywa się zbiorem otwartym, jeśli dla każdego punktu \( y \in U \) istnieje kula otwarta o środku w \( y \), czyli pewne otoczenie o promieniu \(\delta\), zawarte w całości w \( U \).

Intuicyjnie oznacza to, że każdy punkt zbioru otwartego ma wokół siebie pewną „przestrzeń”, która nadal należy do tego samego zbioru.

Dla każdego punktu \( y \in U \) można skonstruować niewielką kulę, dysk lub otoczenie, które pozostaje całkowicie wewnątrz zbioru.

To właśnie ta własność odróżnia zbiory otwarte od innych typów zbiorów.

Poniżej przedstawiono przykład zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej \( \mathbb{R}^2 \).

 

Dla porównania, zbiory domknięte zawierają wszystkie swoje punkty brzegowe oraz wszystkie punkty skupienia.

Pojęcia zbioru otwartego i domkniętego należą do podstawowych elementów topologii i pojawiają się praktycznie we wszystkich działach analizy matematycznej.

Najważniejsze rodzaje metryk

Topologie metryczne można budować przy użyciu różnych definicji odległości. Nie każda metryka prowadzi do takich samych kul otwartych, ale wiele z nich indukuje tę samą topologię.

Poniżej przedstawiono kilka najczęściej spotykanych metryk na płaszczyźnie \( \mathbb{R}^2 \).

• Metryka euklidesowa
  Jest to standardowa metryka znana z geometrii szkolnej. Kule otwarte mają tutaj kształt okręgów. $$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$
  
• Metryka taksówkowa (Manhattan)
  W tej metryce odległość odpowiada długości drogi pokonywanej ulicami miasta ułożonymi w siatkę prostokątną. Kule otwarte mają kształt rombów. $$ d_T(p, q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|. $$
  
• Metryka maksimum
  W tej metryce odległość zależy od największej różnicy współrzędnych. Kule otwarte mają postać kwadratów. $$ d_M(p, q) = \max\{|p_1 - q_1|, |p_2 - q_2|\} $$
   

Mimo że kule otwarte w tych metrykach mają różne kształty geometryczne, wszystkie trzy metryki indukują tę samą topologię na \( \mathbb{R}^2 \).

Dodatkowe uwagi

Poniżej przedstawiono dwa ważne fakty związane z topologiami metrycznymi.

• Twierdzenie o porównywaniu topologii metrycznych

  Niech \(d\) oraz \(d'\) będą dwiema metrykami określonymi na tym samym zbiorze \(X\), które indukują odpowiednio topologie \(\mathcal{T}\) i \(\mathcal{T}'\). Mówimy, że \(\mathcal{T}'\) jest silniejsza od \(\mathcal{T}\), jeśli dla każdego \(x \in X\) oraz każdego \(\varepsilon > 0\) istnieje \(\delta > 0\) takie, że: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ gdzie \(B_{d}(x, \varepsilon)\) i \(B_{d'}(x, \delta)\) oznaczają kule otwarte o środku w \(x\), wyznaczone odpowiednio przez metryki \(d\) i \(d'\).

  Innymi słowy, topologia \(\mathcal{T}'\) jest silniejsza od \(\mathcal{T}\), jeśli każdy zbiór otwarty w topologii indukowanej przez \(d\) pozostaje otwarty również w topologii indukowanej przez \(d'\).
• Twierdzenie o metryce ograniczonej
  W przestrzeni metrycznej \( (X, d) \) można zdefiniować nową metrykę ograniczoną: \( d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) \), gdzie \(\varepsilon > 0\). Metryka ta indukuje tę samą topologię co \( d \), co oznacza, że oba pojęcia otwartości prowadzą do identycznych zbiorów otwartych.