Twierdzenie o metryce ograniczonej
W każdej przestrzeni metrycznej \( (X, d) \) można zdefiniować nową metrykę ograniczoną postaci \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \). Co istotne, mimo ograniczenia wszystkich odległości do wartości maksymalnej równej \(1\), nowa metryka indukuje dokładnie tę samą topologię co metryka wyjściowa \( d \). Oznacza to, że zbiory otwarte pozostają identyczne.
Nową metrykę definiujemy wzorem:
$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$
Działanie tej definicji jest bardzo proste:
- jeśli \( d(x, y) < 1 \), to metryka \( d' \) pokrywa się z \( d \),
- jeśli natomiast \( d(x, y) \geq 1 \), odległość zostaje zastąpiona wartością \(1\).
W rezultacie żadna odległość w metryce \( d' \) nie może przekroczyć liczby \(1\). Mimo to struktura topologiczna przestrzeni pozostaje bez zmian.
Uwaga : Liczbę \(1\) można zastąpić dowolnym \(\varepsilon > 0\): $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ W takim przypadku wszystkie odległości są ograniczone przez \(\varepsilon\), jednak topologia indukowana przez \( d' \) pozostaje taka sama. Dla przejrzystości ograniczymy się tutaj do przypadku \(\varepsilon = 1\).
Przykład
Rozważmy przestrzeń \( \mathbb{R} \) z klasyczną metryką:
$$ d(x, y) = |x - y| $$
Zdefiniujmy teraz metrykę ograniczoną:
$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$
Od tej chwili każda odległość większa od \(1\) zostaje „obcięta” do wartości \(1\).
Jeśli \( x = 2 \) oraz \( y = 5 \), to: $$ d(2,5)=|2-5|=3 $$ Natomiast dla metryki ograniczonej otrzymujemy: $$ d'(2,5)=\min(3,1)=1 $$ Z kolei dla \( x = 2 \) oraz \( y = 2{,}5 \): $$ d'(2,2.5)=\min(|2-2.5|,1)=0.5 $$ Ponieważ \( |2-2.5| < 1 \), obie metryki dają ten sam wynik. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$
Metryka \( d' \) zmienia więc duże odległości, ale nie wpływa na lokalne pojęcie bliskości punktów. To właśnie dlatego obie metryki generują tę samą topologię.
Dlaczego topologia się nie zmienia?
W topologii metrycznej zbiory otwarte buduje się za pomocą kul otwartych.
Nawet jeśli kule wyznaczone przez \( d' \) są mniejsze, nadal można za ich pomocą odtworzyć wszystkie zbiory otwarte definiowane przez metrykę \( d \).
Rozważmy kulę:
$$ B_d(3,2) $$
Jest to zbiór wszystkich punktów, których odległość od \(3\) jest mniejsza niż \(2\):
$$ B_d(3,2)=\{y \in \mathbb{R} \mid d(3,y)<2\} $$
Dla standardowej metryki otrzymujemy:
$$ |3-y|<2 \Rightarrow 1<y<5 $$
Zatem:
$$ B_d(3,2)=(1,5) $$
Jest to przedział otwarty długości \(4\), wyśrodkowany wokół punktu \(3\).
Ten sam zbiór można odtworzyć przy użyciu metryki \( d' \), biorąc sumę mniejszych kul:
$$ B_{d'}(2,1)\cup B_{d'}(3,1) $$
Pierwsza kula pokrywa przedział \( (1,3) \), druga przedział \( (2,4) \). Razem tworzą pokrycie całego zbioru \( (1,5) \).
To właśnie pokazuje najważniejszą ideę twierdzenia: choć metryka ograniczona zmienia wartości dużych odległości, nie zmienia struktury zbiorów otwartych.
Dowód
Aby udowodnić twierdzenie, należy najpierw sprawdzić, że \( d' \) rzeczywiście jest metryką.
Funkcja \( d' \) spełnia wszystkie aksjomaty:
- nieujemność,
- tożsamość nierozróżnialnych,
- symetrię,
- nierówność trójkąta.
Nierówność trójkąta uzasadniamy w dwóch przypadkach:
- Jeśli \( d(x,y)\geq1 \) lub \( d(y,z)\geq1 \), wtedy: $$ d'(x,z)\leq1\leq d'(x,y)+d'(y,z) $$
- Jeśli natomiast \( d(x,y)<1 \) oraz \( d(y,z)<1 \), metryka \( d' \) pokrywa się z \( d \), a więc nierówność trójkąta wynika bezpośrednio z własności metryki \( d \).
Pozostaje jeszcze wykazać, że topologie indukowane przez \( d \) oraz \( d' \) są identyczne.
Oznaczmy je odpowiednio przez \( T \) oraz \( T' \).
Wystarczy udowodnić dwa zawierania:
- \( T \subseteq T' \),
- \( T' \subseteq T \).
A] Dowód zawierania \( T \subseteq T' \)
- Jeśli \( r \leq 1 \), to: $$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
- Jeśli \( r>1 \), to każda kula względem \( d' \) zawiera się w odpowiedniej kuli względem \( d \): $$ B_{d'}(x,r)\subseteq B_d(x,r) $$
Każdy zbiór otwarty względem \( d \) jest więc również otwarty względem \( d' \).
B] Dowód zawierania \( T' \subseteq T \)
- Dla \( r\leq1 \) ponownie mamy: $$ B_d(x,r)=B_{d'}(x,r) $$
- Dla \( r>1 \) każdą kulę \( B_d(x,r) \) można pokryć rodziną kul o promieniu \( \varepsilon\leq1 \), otwartych względem \( d' \):
$$ B_d(x,r)=\bigcup_i B_{d'}(x_i,\varepsilon) $$
Wynika stąd, że każdy zbiór otwarty względem \( d' \) jest również otwarty względem \( d \).
Wniosek
Obie topologie zawierają się wzajemnie, dlatego:
$$ T=T' $$
Ostatecznie otrzymujemy więc ważny rezultat: metryka ograniczona oraz metryka wyjściowa indukują dokładnie tę samą strukturę topologiczną przestrzeni.
