Twierdzenie o porównaniu topologii indukowanych przez metryki
Niech \(d\) oraz \(d'\) będą dwiema metrykami określonymi na zbiorze \(X\), a \(\mathcal{T}\) i \(\mathcal{T}'\) topologiami indukowanymi odpowiednio przez te metryki. Mówimy, że topologia \(\mathcal{T}'\) jest drobniejsza od topologii \(\mathcal{T}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu \(x \in X\) oraz każdej liczby \(\varepsilon > 0\) istnieje \(\delta > 0\) takie, że: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ gdzie \(B_d(x, \varepsilon)\) oraz \(B_{d'}(x, \delta)\) oznaczają kule otwarte o środku \(x\) i promieniach odpowiednio \(\varepsilon\) oraz \(\delta\), wyznaczone przez metryki \(d\) i \(d'\).
Twierdzenie to pozwala porównywać topologie powstające z różnych metryk określonych na tym samym zbiorze. Pokazuje również, w jaki sposób wybór metryki wpływa na strukturę zbiorów otwartych.
Załóżmy więc, że na zbiorze \(X\) definiujemy dwie różne metryki:
- metrykę \(d\), która indukuje topologię \(\mathcal{T}\),
- metrykę \(d'\), która indukuje topologię \(\mathcal{T}'\).
Twierdzenie stwierdza, że topologia \(\mathcal{T}'\) jest drobniejsza od topologii \(\mathcal{T}\), czyli zawiera wszystkie zbiory otwarte należące do \(\mathcal{T}\), a czasem także dodatkowe zbiory otwarte, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór otwarty topologii \(\mathcal{T}\) zawiera przynajmniej jeden zbiór otwarty należący do topologii \(\mathcal{T}'\).
Intuicja twierdzenia
Topologia drobniejsza rozróżnia punkty „dokładniej" niż topologia grubsza. Oznacza to, że posiada większą liczbę zbiorów otwartych.
Warunek: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$ mówi, że wokół każdego punktu można znaleźć kulę wyznaczoną przez metrykę \(d'\), która mieści się całkowicie wewnątrz kuli wyznaczonej przez metrykę \(d\).
Jeżeli taka sytuacja zachodzi dla każdego punktu i dla każdego promienia \(\varepsilon\), to topologia \(\mathcal{T}'\) musi być co najmniej tak „bogata" jak topologia \(\mathcal{T}\).
Przykład
Rozważmy płaszczyznę kartezjańską: $$ X = \mathbb{R}^2 $$ i wyposażmy ją w dwie różne metryki.
Metryka euklidesowa
Najbardziej naturalną metryką na płaszczyźnie jest metryka euklidesowa: $$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ Kule otwarte w tej metryce są zwykłymi dyskami: $$ B_d((x, y), \varepsilon) = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{(u - x)^2 + (v - y)^2} < \varepsilon\} $$
Metryka dyskretna
Rozważmy teraz metrykę dyskretną: $$ d'((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \begin{cases} 0 & \text{gdy } (x_1, y_1) = (x_2, y_2), \\ 1 & \text{gdy } (x_1, y_1) \neq (x_2, y_2) \end{cases} $$
W tej metryce kule otwarte mają bardzo prostą postać: \[ B_{d'}((x, y), \delta) = \begin{cases} \{(x, y)\} & \text{gdy } \delta \leq 1, \\ X & \text{gdy } \delta > 1. \end{cases} \] Oznacza to, że każdy pojedynczy punkt jest zbiorem otwartym.
Dlaczego topologia dyskretna jest drobniejsza?
Z twierdzenia wynika, że musimy sprawdzić warunek: $$ \forall x \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ takie, że } B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$
Weźmy dowolny punkt: $$ P = (x_0, y_0) $$ oraz dowolny promień: $$ \varepsilon > 0 $$ Kula euklidesowa \(B_d(P,\varepsilon)\) jest otwartym dyskiem wokół punktu \(P\).
W metryce dyskretnej wystarczy wybrać: $$ \delta = 1 $$ Wtedy: $$ B_{d'}(P,\delta)=\{P\} $$ Ponieważ punkt \(P\) należy do każdej kuli o środku w \(P\), otrzymujemy: $$ B_{d'}(P,\delta)\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$
Rozważmy konkretny punkt: \(P=(1,2)\in\mathbb{R}^2\). W topologii euklidesowej kula o promieniu \(\varepsilon=0{,}4\) i środku w punkcie \(P\) jest zbiorem otwartym.
W topologii dyskretnej zbiór \(\{P\}\) jest otwarty z definicji. Ponieważ: $$ \{P\}\subseteq B_d(P,\varepsilon) $$ warunek twierdzenia jest spełniony.
Ten sam argument działa dla każdego punktu płaszczyzny. Oznacza to, że każdy zbiór otwarty topologii euklidesowej zawiera przynajmniej jeden zbiór otwarty topologii dyskretnej.
W konsekwencji topologia dyskretna jest drobniejsza od topologii euklidesowej.
Dowód twierdzenia
Dowód opiera się na równoważności dwóch zdań:
- jeżeli \(\mathcal{T}'\) jest drobniejsza od \(\mathcal{T}\), to dla każdego \(x \in X\) oraz każdego \(\varepsilon > 0\) istnieje \(\delta > 0\) takie, że: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$
- jeżeli dla każdego \(x \in X\) oraz każdego \(\varepsilon > 0\) zachodzi powyższa inkluzja, to topologia \(\mathcal{T}'\) jest drobniejsza od topologii \(\mathcal{T}\).
A] Pierwsza implikacja
Załóżmy, że topologia \(\mathcal{T}'\) jest drobniejsza od topologii \(\mathcal{T}\).
- Każdy zbiór otwarty należący do \(\mathcal{T}\) jest wtedy również otwarty w \(\mathcal{T}'\).
- W szczególności kula: $$ B_d(x,\varepsilon) $$ jest otwarta w topologii \(\mathcal{T}'\).
- Z definicji zbioru otwartego wynika więc, że istnieje kula: $$ B_{d'}(x,\delta) $$ taka, że: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$
B] Druga implikacja
Załóżmy teraz, że dla każdego punktu \(x\in X\) oraz każdego \(\varepsilon>0\) istnieje \(\delta>0\) takie, że: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon) $$
Pokażemy, że topologia \(\mathcal{T}'\) jest wtedy drobniejsza od topologii \(\mathcal{T}\).
- Niech \(U\) będzie dowolnym zbiorem otwartym należącym do topologii \(\mathcal{T}\).
- Z definicji topologii metrycznej wynika, że dla każdego punktu: $$ x\in U $$ istnieje kula: $$ B_d(x,\varepsilon)\subseteq U $$
- Z przyjętego założenia istnieje \(\delta>0\) takie, że: $$ B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)\subseteq U $$
- Każdy punkt zbioru \(U\) posiada więc otoczenie otwarte w topologii \(\mathcal{T}'\), zawarte w \(U\).
- Oznacza to, że zbiór \(U\) jest otwarty również w topologii \(\mathcal{T}'\).
Dowód twierdzenia jest więc zakończony.
I tak dalej.
