Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią Hausdorffa

Każda przestrzeń metryczna spełnia aksjomat Hausdorffa. Oznacza to, że każda topologia wyznaczona przez metrykę automatycznie posiada własność Hausdorffa. Jeśli natomiast dana przestrzeń topologiczna nie spełnia tego aksjomatu, nie może pochodzić od żadnej metryki.

Przestrzeń Hausdorffa to przestrzeń topologiczna, w której dowolne dwa różne punkty można oddzielić za pomocą rozłącznych zbiorów otwartych.

Innymi słowy, dla każdych dwóch różnych punktów istnieją dwa otwarte otoczenia, które nie mają części wspólnej. Każde z nich zawiera dokładnie jeden z rozpatrywanych punktów.

Jest to jedna z podstawowych własności przestrzeni topologicznych, ponieważ formalizuje intuicyjne pojęcie „rozdzielania punktów".

Uwaga: aksjomat Hausdorffa musi być spełniony dla każdej pary różnych punktów, bez wyjątku.

Przykład w przestrzeni euklidesowej

Rozważmy płaszczyznę euklidesową \(\mathbb{R}^2\), wyposażoną w standardową metrykę euklidesową:

$$ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}. $$

Metryka ta przypisuje każdej parze punktów ich zwykłą odległość geometryczną.

Przestrzeń \(\mathbb{R}^2\) wraz z tą metryką jest przestrzenią metryczną, a więc automatycznie także przestrzenią Hausdorffa.

Niech \(A = (x_1, y_1)\) oraz \(B = (x_2, y_2)\) będą dwoma różnymi punktami płaszczyzny.

Ponieważ \(A \neq B\), odległość między nimi jest dodatnia:

$$ d(A, B) > 0 $$

Wybierzmy promień równy połowie tej odległości:

$$ r = \frac{d(A,B)}{2} $$

Zdefiniujmy teraz dwie kule otwarte o promieniu \(r\), odpowiednio o środkach w punktach \(A\) oraz \(B\):

• \(U = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, A) < r \}\),
• \(V = \{ P \in \mathbb{R}^2 : d(P, B) < r \}\).

Otrzymane zbiory są rozłączne:

$$ U \cap V = \varnothing $$

Każdy punkt należący do \(U\) znajduje się bliżej punktu \(A\) niż punktu \(B\), natomiast każdy punkt należący do \(V\) leży bliżej punktu \(B\) niż punktu \(A\).

W ten sposób punkty \(A\) oraz \(B\) zostały rozdzielone za pomocą dwóch rozłącznych zbiorów otwartych.

Ponieważ identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej pary różnych punktów, przestrzeń \(\mathbb{R}^2\) z metryką euklidesową jest przestrzenią Hausdorffa.

Przykład przestrzeni, która nie jest przestrzenią Hausdorffa

Rozważmy teraz zbiór \(\mathbb{R}\) wyposażony w topologię dopełnień skończonych.

W tej topologii podzbiór \(U \subseteq \mathbb{R}\) jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy:

• jest pusty, albo
• jego dopełnienie \(\mathbb{R} \setminus U\) jest zbiorem skończonym.

Oznacza to, że każdy niepusty zbiór otwarty zawiera prawie wszystkie liczby rzeczywiste. Może brakować jedynie skończonej liczby punktów.

Niech \(x, y \in \mathbb{R}\) będą dwoma różnymi punktami.

Spróbujmy skonstruować dwa rozłączne zbiory otwarte \(U\) oraz \(V\), zawierające odpowiednio punkty \(x\) i \(y\).

Jeśli \(U\) jest otwarte i zawiera punkt \(x\), to musi zawierać wszystkie liczby rzeczywiste poza skończonym zbiorem.

To samo dotyczy zbioru \(V\), który zawiera punkt \(y\).

W praktyce oznacza to, że oba zbiory zawierają niemal całą prostą rzeczywistą.

Dlatego ich część wspólna nie może być pusta. Co więcej, zawiera ona nieskończenie wiele punktów:

$$ U \cap V \neq \varnothing $$

Nie da się więc oddzielić punktów \(x\) oraz \(y\) za pomocą rozłącznych zbiorów otwartych.

Wynika stąd, że przestrzeń \((\mathbb{R}, \text{topologia dopełnień skończonych})\) nie jest przestrzenią Hausdorffa.

W szczególności topologia ta nie może być indukowana przez żadną metrykę.

Dowód ogólny

Niech \((X,d)\) będzie przestrzenią metryczną oraz niech \(x,y \in X\) będą dwoma różnymi punktami.

Ponieważ \(x \neq y\), odległość między nimi jest dodatnia. Oznaczmy:

$$ \varepsilon = d(x,y) $$

Rozważmy teraz kule otwarte o promieniu \(\varepsilon/2\):

• \(U = \{ z \in X : d(x,z) < \varepsilon/2 \}\),
• \(V = \{ z \in X : d(y,z) < \varepsilon/2 \}\).

Pokażemy, że zbiory \(U\) oraz \(V\) są rozłączne.

Załóżmy przeciwnie, że istnieje punkt \(z \in U \cap V\).

Wówczas:

• \(d(x,z) < \varepsilon/2\),
• \(d(z,y) < \varepsilon/2\).

Z nierówności trójkąta otrzymujemy:

$$ d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon $$

Jest to sprzeczne z definicją \(\varepsilon = d(x,y)\).

Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory \(U\) oraz \(V\) nie mogą mieć punktów wspólnych.

Udowodniliśmy więc, że w każdej przestrzeni metrycznej dowolne dwa różne punkty można oddzielić za pomocą rozłącznych zbiorów otwartych.

Każda przestrzeń metryczna jest zatem przestrzenią Hausdorffa.

Dowód jest zakończony.