Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych

Pojęcie ciągłości jest jednym z najważniejszych zagadnień analizy matematycznej i topologii. W przypadku przestrzeni metrycznych klasyczna definicja ciągłości znana z funkcji rzeczywistych zostaje uogólniona na znacznie szerszy kontekst matematyczny.

Twierdzenie o ciągłości w przestrzeniach metrycznych pokazuje, że intuicyjne rozumienie funkcji ciągłej pozostaje takie samo również w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach. Małe zmiany argumentu powodują małe zmiany wartości funkcji.

Niech $f$ będzie funkcją określoną między dwiema przestrzeniami metrycznymi $(X, d_X)$ oraz $(Y, d_Y)$.

Funkcja $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek :

Wybieramy dowolny punkt $x \in X$.
Następnie ustalamy dowolną liczbę $\varepsilon > 0$, która określa, jak bardzo chcemy ograniczyć zmianę wartości funkcji.
Można wtedy znaleźć liczbę $\delta > 0$, taką że dla każdego punktu $x'$ spełniającego warunek : $$ d_X(x, x') < \delta $$ zachodzi również : $$ d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$

Definicja ta formalizuje intuicyjną ideę ciągłości. Jeżeli dwa punkty w przestrzeni $X$ znajdują się blisko siebie, to ich obrazy przez funkcję $f$ również pozostają blisko siebie w przestrzeni $Y$.

Takie ujęcie nazywa się definicją ciągłości $\varepsilon$-$\delta$. Jest ono bezpośrednim uogólnieniem definicji znanej z analizy funkcji rzeczywistych.

Uwaga : W przypadku funkcji rzeczywistych $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ korzystamy ze standardowej wartości bezwzględnej : $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$ $$ d_Y(f(x), f(x')) = |f(x) - f(x')| $$ Wówczas definicja ciągłości przyjmuje dobrze znaną postać : jeżeli $|x - x'| < \delta$, to $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$. W przestrzeniach metrycznych zmienia się jedynie pojęcie odległości. Sama idea ciągłości pozostaje dokładnie taka sama :

niewielkie zmiany argumentu powodują niewielkie zmiany wartości funkcji.

Przykład
Dowód równoważności definicji ciągłości

Przykład

Rozważmy przestrzenie metryczne :

$X = \mathbb{R}$ z metryką standardową : $$ d_X(x, x') = |x - x'| $$
$Y = \mathbb{R}$ z metryką standardową : $$ d_Y(y, y') = |y - y'| $$

Niech funkcja będzie określona wzorem :

$$ f(x) = 2x $$

Sprawdzimy teraz, że funkcja ta jest ciągła zarówno w sensie topologicznym, jak i w sensie definicji $\varepsilon$-$\delta$.

1] Ciągłość w sensie topologicznym

W topologii indukowanej przez metrykę zbiór $V \subseteq Y$ jest otwarty wtedy, gdy dla każdego punktu $y \in V$ istnieje kula otwarta zawarta w całości w zbiorze $V$.

Dla funkcji $f(x)=2x$ przeciwobraz zbioru otwartego $V$ ma postać :

$$ f^{-1}(V) = \{x \in \mathbb{R} \mid 2x \in V\} $$

Jeżeli punkt $y \in V$ posiada otoczenie o promieniu $\varepsilon$, to dla punktu $x \in f^{-1}(V)$ możemy przyjąć :

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

Wtedy kula otwarta wokół punktu $x$ o promieniu $\delta$ pozostaje zawarta w przeciwobrazie $f^{-1}(V)$.

Oznacza to, że przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym. Zatem funkcja $f(x)=2x$ jest ciągła w sensie topologicznym.

2] Ciągłość w sensie $\varepsilon$-$\delta$

Niech $x \in X$ oraz $\varepsilon > 0$.

Szukamy liczby $\delta > 0$ takiej, że :

$$ |x-x'| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x')| < \varepsilon $$

Ponieważ :

$$ f(x)=2x $$ $$ f(x')=2x' $$

otrzymujemy :

$$ |f(x)-f(x')| = |2x-2x'| $$ $$ |f(x)-f(x')| = 2|x-x'| $$

Wystarczy więc przyjąć :

$$ \delta = \frac{\varepsilon}{2} $$

Wówczas z warunku :

$$ |x-x'| < \delta $$

wynika :

$$ |f(x)-f(x')| < \varepsilon $$

Dowodzi to, że funkcja $f(x)=2x$ jest ciągła zgodnie z definicją $\varepsilon$-$\delta$.

3] Wnioski

Funkcja $f(x)=2x$ jest ciągła.
Definicja topologiczna i definicja $\varepsilon$-$\delta$ opisują to samo pojęcie ciągłości.
Pojęcie ciągłości w przestrzeniach metrycznych stanowi naturalne uogólnienie ciągłości funkcji rzeczywistych.

Dowód równoważności definicji ciągłości

Przedstawimy teraz dowód równoważności dwóch klasycznych definicji ciągłości funkcji :

Definicja topologiczna : funkcja $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego w $Y$ jest zbiorem otwartym w $X$.
Definicja przez otoczenia : dla każdego punktu $x \in X$ oraz każdego zbioru otwartego $U \subseteq Y$, zawierającego punkt $f(x)$, istnieje otoczenie $V$ punktu $x$ takie, że : $$ f(V) \subseteq U $$

1] Od definicji topologicznej do definicji przez otoczenia

Załóżmy, że funkcja $f$ jest ciągła w sensie topologicznym.

Niech $U \subseteq Y$ będzie zbiorem otwartym oraz niech :

$$ f(x) \in U $$

Ponieważ przeciwobraz $f^{-1}(U)$ jest zbiorem otwartym i zawiera punkt $x$, istnieje otoczenie $V$ punktu $x$ takie, że :

$$ V \subseteq f^{-1}(U) $$

Stąd natychmiast otrzymujemy :

$$ f(V) \subseteq U $$

Otrzymaliśmy więc definicję ciągłości przez otoczenia.

2] Od definicji przez otoczenia do definicji topologicznej

Załóżmy teraz, że spełniona jest definicja ciągłości przez otoczenia.

Weźmy dowolny zbiór otwarty $W \subseteq Y$.

Jeżeli :

$$ x \in f^{-1}(W) $$

to :

$$ f(x) \in W $$

Z założenia istnieje otoczenie $V$ punktu $x$ takie, że :

$$ f(V) \subseteq W $$

co oznacza :

$$ V \subseteq f^{-1}(W) $$

Każdy punkt przeciwobrazu $f^{-1}(W)$ posiada więc otoczenie zawarte w tym przeciwobrazie. Oznacza to, że $f^{-1}(W)$ jest zbiorem otwartym.

W ten sposób wykazaliśmy równoważność obu definicji ciągłości.