Mulțime mărginită într-un spațiu metric

Fie un spațiu metric $(X, d)$, unde $d$ măsoară distanța dintre puncte. Un subansamblu $A \subseteq X$ se numește mărginit dacă există un număr real $\mu > 0$ astfel încât, pentru orice puncte $x, y \in A$, să avem $d(x, y) \leq \mu$.

Intuitiv, asta înseamnă că toate punctele din $A$ sunt conținute într-o regiune de dimensiune limitată. Cu alte cuvinte, nu pot fi oricât de îndepărtate unele de altele.

Dacă această proprietate este valabilă pentru întregul spațiu $X$, atunci metrica $d$ se numește metrică mărginită. Există, deci, o constantă $\mu$ care limitează toate distanțele din spațiu.

Observație : Dacă metrica este mărginită, atunci orice subansamblu al lui $X$ este automat mărginit. Distanțele dintre punctele sale nu pot depăși distanțele posibile în întregul spațiu.

Exemplu
Metrică mărginită și topologie
Cum obținem o metrică mărginită

Exemplu

Să luăm planul cartezian $\mathbb{R}^2$, cu distanța euclidiană obișnuită.

Distanța dintre două puncte $(x_1, y_1)$ și $(x_2, y_2)$ este:

$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Considerăm mulțimea $A$ formată din punctele aflate în interiorul sau pe marginea unui disc de rază $10$, centrat în origine:

$$ A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 10^2\} $$

Vrem să vedem dacă această mulțime este mărginită.

Observăm că distanța maximă între două puncte din disc apare atunci când acestea sunt diametral opuse, de exemplu $(10, 0)$ și $(-10, 0)$.

Calculăm:

$$ d((10, 0), (-10, 0)) = \sqrt{((-10) - 10)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{400} = 20 $$

Distanța maximă între două puncte din discul A

Prin urmare, orice două puncte din $A$ se află la o distanță cel mult egală cu $20$.

Concluzia este că mulțimea $A$ este mărginită, iar o constantă posibilă este $\mu = 20$.

Metrică mărginită și topologie

Un aspect important este următorul: faptul că o metrică este mărginită sau nu nu schimbă topologia spațiului.

Ce este topologia? Topologia descrie modul în care sunt definite mulțimile deschise și închise într-un spațiu. Ea nu depinde de valorile numerice ale distanțelor, ci de structura relațiilor dintre puncte.

De aceea, chiar dacă o metrică nu este mărginită, putem construi una nouă, echivalentă din punct de vedere topologic, care este mărginită și care generează exact aceeași topologie.

Cu alte cuvinte, caracterul mărginit al unei metrici nu influențează proprietățile topologice ale spațiului.

Cum obținem o metrică mărginită

O metodă clasică este să transformăm distanțele astfel încât valorile mari să fie „comprimante", fără a modifica structura topologică.

Se folosește frecvent transformarea:

$$ d'(x, y) = \frac{d(x, y)}{1 + d(x, y)} $$

Ce face această transformare?

Dacă distanța inițială este mică, atunci și cea nouă rămâne aproape neschimbată:

$$ d(x, y) = 1 \quad \Rightarrow \quad d'(x, y) = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$

Dacă distanța este foarte mare, atunci valoarea lui $d'(x, y)$ se apropie de $1$.

Astfel, toate distanțele sunt aduse în intervalul $[0, 1)$, dar relațiile topologice dintre puncte rămân aceleași.

Să vedem un exemplu concret. Considerăm distanța obișnuită pe dreapta reală:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

Aceasta nu este mărginită. Aplicând transformarea, obținem:

$$ d'(x, y) = \frac{|x - y|}{1 + |x - y|} $$

Dacă $x = 1$ și $y = 2$, atunci:

$$ d'(1, 2) = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$

Dacă $x = 1$ și $y = 1000$, atunci:

$$ d'(1, 1000) = \frac{999}{1000} = 0{,}999 $$

În toate situațiile, distanța rămâne mai mică decât $1$, iar topologia este aceeași ca înainte.

Mulțimile deschise și închise definite de $d$ și de $d'$ coincid perfect.

Și așa mai departe...