Spații metrice izometrice
Două spații metrice se numesc izometrice dacă există o aplicație \(f : X \to Y\) care respectă simultan două condiții fundamentale:
- Bijectivitate : fiecărui element din \(X\) îi corespunde exact un element din \(Y\), și invers.
- Izometrie : pentru orice \(x_1, x_2 \in X\), distanța dintre ele în \(X\) coincide exact cu distanța dintre imaginile lor \(f(x_1)\) și \(f(x_2)\) în \(Y\): $$ d_X(x_1, x_2) = d_Y(f(x_1), f(x_2)) $$
O astfel de aplicație se numește izometrie, iar spațiile \(X\) și \(Y\) sunt izometrice.
Pe scurt, izometria permite să stabilim dacă două spații metrice sunt, din punctul de vedere al distanțelor dintre puncte, identice. Nu contează cum sunt denumite punctele sau cum sunt reprezentate spațiile, ci doar modul în care se măsoară distanțele.
- Dacă două spații sunt izometrice, atunci ele au aceeași topologie, adică aceleași mulțimi deschise și aceeași structură globală.
- Reciproca nu este însă adevărată: două spații pot avea aceeași topologie fără a fi izometrice.
- Izometria este o condiție mai puternică decât echivalența topologică, deoarece impune păstrarea exactă a tuturor distanțelor, nu doar a structurii mulțimilor deschise.
Exemplu concret
Să analizăm un exemplu simplu, în care putem verifica direct condițiile de mai sus.
- \(X = \{a, b, c\}\), cu metrica \(d_X\) definită prin: $$ d_X(a, b) = 1, \quad d_X(b, c) = 2, \quad d_X(a, c) = 3 $$
- \(Y = \{p, q, r\}\), cu metrica \(d_Y\) definită prin: $$ d_Y(p, q) = 1, \quad d_Y(q, r) = 2, \quad d_Y(p, r) = 3 $$
Definim aplicația \(f : X \to Y\) astfel:
$$ f(a) = p, \quad f(b) = q, \quad f(c) = r $$
Verificăm dacă distanțele se păstrează:
- \(d_X(a, b) = 1\) și \(d_Y(f(a), f(b)) = 1\)
- \(d_X(b, c) = 2\) și \(d_Y(f(b), f(c)) = 2\)
- \(d_X(a, c) = 3\) și \(d_Y(f(a), f(c)) = 3\)
Toate distanțele coincid. Prin urmare, aplicația \(f\) este o izometrie, iar cele două spații sunt izometrice.
Exemplul 2
În planul \(\mathbb{R}^2\), metrica taximetrică și metrica euclidiană standard generează aceleași mulțimi deschise. Din punct de vedere topologic, ele sunt echivalente.
Dar sunt și izometrice?
În metrica taximetrică, distanța este definită prin:
$$ d_T((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| $$
Această formulă descrie distanța parcursă pe direcții orizontale și verticale, ca într-un oraș cu străzi dispuse în grilă.
În metrica euclidiană, distanța este:
$$ d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$
Adică distanța în linie dreaptă dintre cele două puncte.
Considerăm punctele \(A = (1, 1)\) și \(B = (2, 2)\).
Calculăm distanțele:
În metrica taximetrică:
$$ d_T((2, 2), (1, 1)) = 2 $$
În metrica euclidiană:
$$ d((1, 1), (2, 2)) = \sqrt{2} \approx 1.41 $$
Rezultatele sunt diferite. Prin urmare, nu există nicio aplicație care să păstreze simultan aceste distanțe.
Concluzie: planul cu metrica taximetrică nu este izometric cu planul cu metrica euclidiană.
Deși cele două metrici definesc aceeași topologie, ele nu sunt echivalente din punct de vedere metric.
