Spațiul metric

Ce este un spațiu metric?

Un spațiu metric este o pereche \( (X, d) \), unde \( X \) este o mulțime, iar \( d \) este o aplicație (numită metrică) care asociază fiecărei perechi de puncte \( x, y \in X \) un număr real nenegativ, notat \( d(x, y) \), ce exprimă distanța dintre \( x \) și \( y \). Această structură se notează, în mod uzual, \( (X, d) \). $$ (X,d) $$

Pe scurt, un spațiu metric este un mod riguros de a introduce ideea de distanță într-o mulțime.

Pentru ca o funcție să fie o metrică, ea trebuie să respecte trei proprietăți esențiale:

1. Non-negativitate : \( d(x, y) \geq 0 \) pentru orice \( x, y \in X \), iar \( d(x, y) = 0 \) dacă și numai dacă \( x = y \). Distanța este deci întotdeauna pozitivă sau nulă și devine zero doar pentru același punct.
2. Simetrie : \( d(x, y) = d(y, x) \). Ordinea punctelor nu influențează distanța.
3. Inegalitatea triunghiului : \( d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z) \). Distanța directă dintre două puncte este întotdeauna mai mică sau egală decât orice drum care trece printr-un al treilea punct.

Acest cadru stă la baza unor concepte fundamentale din analiză și topologie, precum continuitatea, convergența și compactitatea.

Cu alte cuvinte, un spațiu metric este o mulțime \( X \) înzestrată cu o funcție de distanță \( d \).

Conceptul este foarte general și acoperă situații foarte diferite, de la mulțimi finite de puncte până la spații vectoriale de dimensiune infinită.

Un exemplu concret

Un exemplu clasic de spațiu metric este spațiul euclidian \( \mathbb{R}^n \), adică mulțimea punctelor din plan (pentru \( n = 2 \)) sau din spațiul tridimensional (pentru \( n = 3 \)).

Considerăm cazul \( \mathbb{R}^2 \), planul cartezian.

Metrica euclidiană \( d \) este definită, pentru două puncte \( p = (p_1, p_2) \) și \( q = (q_1, q_2) \), prin:

$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$

Această formulă descrie distanța euclidiană, adică cea mai scurtă distanță în linie dreaptă dintre punctele \( p \) și \( q \).

Se poate verifica ușor că această funcție îndeplinește toate cele trei proprietăți ale unei metrici:

1. Non-negativitate : radicalul unei sume de pătrate este întotdeauna nenegativ și este zero doar când punctele coincid.
2. Simetrie : diferențele apar la pătrat, deci ordinea punctelor nu contează.
3. Inegalitatea triunghiului : rezultă din proprietățile normei euclidiene și are o interpretare geometrică intuitivă.

Prin urmare, \( (\mathbb{R}^2, d) \) este un exemplu tipic de spațiu metric.

Funcția de distanță (metrica)

Ce înseamnă, mai exact, „funcție de distanță”?

O metrică (sau funcție de distanță) este o aplicație \( d : X \times X \to \mathbb{R} \) care verifică următoarele condiții:

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \)
\( d(x_1, x_2) = 0 \) dacă și numai dacă \( x_1 = x_2 \)
\( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \)
\( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \)

pentru orice \( x_1, x_2, x_3 \in X \).

Tipuri de distanță

În practică, nu există o singură noțiune de distanță. În funcție de context, pot fi folosite mai multe tipuri de metrici.

Distanța euclidiană

$$ d_2(x, y) := \sqrt{ \sum{(x_i - y_i)^2 } } $$

Este cea mai cunoscută și constituie baza geometriei clasice.

Distanța Manhattan

Numită și „distanță taxicab”, descrie deplasarea într-un spațiu organizat în grilă, unde sunt permise doar mișcări orizontale și verticale.

$$ d_1(x_1, x_2) := \sum{ |x_i - y_i| } $$

Distanța discretă

În acest caz, două puncte au distanța 0 dacă coincid și 1 dacă sunt diferite.

$$ d(x, y) := \begin{cases} 0 \:\:\: dacă \: x = y \\ 1 \:\:\: dacă \: x \ne y \end{cases} $$

Distanța indusă de o normă

O normă permite, în mod natural, definirea unei funcții de distanță.

În acest context, se spune că distanța este indusă de normă.

$$ ||v|| := d(v, 0_V) $$

Cu alte cuvinte, norma unui vector reprezintă distanța acestuia față de originea spațiului vectorial.

De aceea, orice spațiu vectorial normat este automat și un spațiu metric.

Observație : Reciproca nu este, în general, valabilă. Există metrici care nu provin din nicio normă.

Cum recunoaștem o distanță indusă de o normă?

O funcție de distanță \( d \), definită pe un spațiu vectorial \( V \), este indusă de o normă dacă verifică proprietățile:

\( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
\( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2 ) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

pentru orice \( v_1, v_2, v_3 \in V \) și orice scalar \( k \in K \).

Exemplu

Norma euclidiană este cel mai cunoscut exemplu. Ea satisface aceste proprietăți și, prin urmare, induce distanța euclidiană.

Luăm trei vectori în \( \mathbb{R}^2 \) :

$$ v_1 = (6,8) \\ v_2 = (3,4) \\ v_3 = (3,0) $$

Calculăm normele lor:

$$ ||v_1||_2 = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $$ $$ ||v_2||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $$ $$ ||v_3||_2 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 $$

Aceste valori coincid cu distanțele față de origine:

$$ ||v_1||_2 = d(v_1, 0_V) $$ $$ ||v_2||_2 = d(v_2, 0_V) $$ $$ ||v_3||_2 = d(v_3, 0_V) $$

Pentru ca relația \( ||v|| = d(v, 0_V) \) să definească o metrică indusă, trebuie verificate două condiții:
1] \( d(v_1 + v_3, v_2 + v_3) = d(v_1, v_2) \)
2] \( d(k \cdot v_1, k \cdot v_2) = |k| \cdot d(v_1, v_2) \)

Verificarea primei condiții

Adunăm vectorii:

$$ v_1 + v_3 = (9,8), \quad v_2 + v_3 = (6,4) $$

Calculăm distanța dintre ei:

$$ d((9,8),(6,4)) = \sqrt{(9-6)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Comparăm cu:

$$ d(v_1, v_2) = \sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Rezultatele sunt egale, deci prima condiție este satisfăcută.

Verificarea celei de-a doua condiții

Alegem \( k = 2 \) și scalăm vectorii:

$$ k \cdot v_1 = (12,16), \quad k \cdot v_2 = (6,8) $$

Calculăm distanța:

$$ d((12,16),(6,8)) = \sqrt{(12-6)^2 + (16-8)^2} = \sqrt{100} = 10 $$

Pe de altă parte:

$$ |2| \cdot d(v_1, v_2) = 2 \cdot 5 = 10 $$

Și a doua condiție este verificată.

Concluzie: în spațiul euclidian, distanța este într-adevăr indusă de norma euclidiană.

Observații suplimentare

Câteva idei importante de reținut despre spațiile metrice:

• Mulțime mărginită într-un spațiu metric
  Un subansamblu \(A \subseteq X\) este mărginit dacă toate punctele sale rămân la distanță finită de un punct fix \(x_0\): $$ d(x, x_0) \leq \mu $$ pentru un anumit \(\mu > 0\) și pentru orice \(x \in A\).

  Această proprietate depinde doar de distanțe, nu de faptul că mulțimea este deschisă sau închisă.

• Metrică mărginită
  Dacă întreaga mulțime \(X\) este mărginită, atunci și metrica se numește mărginită.
• Baza topologiei induse de o metrică
  Într-un spațiu metric, mulțimea bilelor deschise $$ \mathcal{B} = \{B_d(x, \varepsilon) \mid x \in X, \varepsilon > 0\} $$ formează o bază a topologiei.
• Continuitatea în spații metrice
  O funcție este continuă dacă punctele apropiate rămân apropiate după aplicarea funcției, în sensul: $$ d_X(x, x') < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(x')) < \varepsilon $$
• Spațiile metrice sunt Hausdorff
  Într-un spațiu metric, orice două puncte distincte pot fi separate prin vecinătăți deschise disjuncte.

  Observație : Aceasta este o proprietate fundamentală a spațiilor metrice.

Și așa mai departe...