Topologia metrică

Topologia metrică pe un spațiu $ X $ este generată de o bază alcătuită din bile deschise definite prin intermediul unei distanțe $ d $ pe $ X $. Aceasta este cunoscută și sub denumirea de topologia indusă de metrica $ d $.

Într-un spațiu metric $ (X, d) $, unde funcția $ d $ măsoară distanța dintre punctele din $ X $, putem construi o topologie folosind noțiunea de bilă deschisă. Aceasta reprezintă instrumentul de bază pentru a descrie ce înseamnă „apropierea" între puncte într-un mod riguros.

O bilă deschisă, centrată într-un punct $ x \in X $, cu rază $ \varepsilon > 0 $, este mulțimea punctelor $ y \in X $ pentru care distanța față de $ x $ este mai mică decât $ \varepsilon $ :

$$ B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}. $$

Pe baza acestor bile, definim mulțimile deschise. O mulțime este deschisă dacă poate fi obținută ca reuniune, eventual infinită, de bile deschise.

Echivalent, o mulțime $ U \subset X $ este deschisă dacă pentru orice punct $ y \in U $ există un $ \delta > 0 $ astfel încât bila $ B_d(y, \delta) $ este conținută în întregime în $ U $.

Un exemplu concret
Mulțimi deschise într-o topologie metrică
Tipuri de metrici
Observații suplimentare

Un exemplu concret

Considerăm dreapta reală $\mathbb{R}$, privită ca un spațiu euclidian unidimensional, dotat cu distanța uzuală.

În acest caz, distanța dintre două puncte $x$ și $y$ este:

$$ d(x, y) = |x - y| $$

unde $|x - y|$ este valoarea absolută a diferenței dintre cele două puncte.

Această definiție respectă toate proprietățile unei metrici și ne permite să construim bile deschise în $\mathbb{R}$.

De exemplu, dacă alegem punctul $x = 3$ și raza $\varepsilon = 1$, obținem:

$$ B_d(3, 1) = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 1\} $$

Rezolvând inegalitatea $ |3 - y| < 1 $, rezultă:

$ 2 < y < 4 $

Prin urmare:

$$ B_d(3, 1) = (2, 4) $$

Observăm că o bilă deschisă pe dreapta reală nu este altceva decât un interval deschis.

exemplu de interval deschis ca bilă în R

În general, orice interval deschis $(a, b)$ din $\mathbb{R}$ poate fi văzut ca o bilă deschisă sau ca o reuniune de bile deschise.

exemple de intervale deschise în R

Aceste intervale formează baza topologiei metrice pe $\mathbb{R}$.

Observație. O mulțime din $\mathbb{R}$ este deschisă dacă, în jurul fiecărui punct al său, putem găsi un interval deschis complet inclus în acea mulțime. De exemplu, $(0, 5)$ este deschis deoarece fiecare punct din acest interval admite un mic vecinaj care rămâne în interior.

În concluzie, metrica $d(x, y) = |x - y|$ generează topologia uzuală pe $\mathbb{R}$, construită din intervale deschise.

Mulțimi deschise într-o topologie metrică

Un subansamblu $ U \subset X $ este deschis dacă, pentru fiecare punct $ y \in U $, există o bilă deschisă centrată în $ y $ complet inclusă în $ U $. Aceasta înseamnă că fiecare punct are un vecinaj care nu „iese" din mulțime.

Intuitiv, într-o mulțime deschisă ne putem deplasa puțin în jurul oricărui punct fără să părăsim mulțimea. Această idee este esențială în topologie.

Mai jos este un exemplu de mulțime deschisă în $ \mathbb{R}^2 $.

exemplu de mulțime deschisă în plan

În schimb, mulțimile închise sunt cele care conțin toate punctele lor limită.

exemplu de mulțime închisă în plan

Diferența dintre mulțimi deschise și închise este fundamentală și se bazează pe modul în care sunt incluse punctele de frontieră.

Tipuri de metrici

Nu există o singură noțiune de distanță. Alegerea metricii influențează forma bilelor deschise, dar nu întotdeauna topologia rezultată.

Pe planul $ \mathbb{R}^2 $, câteva exemple importante sunt:

Metrica euclidiană
Bilele deschise sunt cercuri. Aceasta este metrica standard și induce topologia uzuală.
$$ d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} $$
Metrica Manhattan (taxi)
Bilele deschise au forma unor romburi. Deși forma diferă, topologia rămâne aceeași.
$$ d_T(p, q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|. $$
Metrica maximului
Bilele deschise sunt pătrate. Și în acest caz se obține aceeași topologie pe $ \mathbb{R}^2 $.
$$ d_M(p, q) = \max\{|p_1 - q_1|, |p_2 - q_2|\} $$

Deși aceste metrici produc forme diferite pentru bilele deschise, ele induc aceeași topologie pe $ \mathbb{R}^2 $.

Observații suplimentare

Teoremă: comparația topologiilor metrice
Fie $d$ și $d'$ două metrici pe aceeași mulțime $X$, care induc topologiile $\mathcal{T}$ și $\mathcal{T}'$. Spunem că $\mathcal{T}'$ este mai fină decât $\mathcal{T}$ dacă pentru orice $x \in X$ și orice $\varepsilon > 0$ există un $\delta > 0$ astfel încât: $$ B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon) $$
În mod intuitiv, topologia $\mathcal{T}'$ are „mai multe" mulțimi deschise decât $\mathcal{T}$.
Teorema metricii mărginită
Pentru orice spațiu metric $ (X, d) $, se poate construi o metrică mărginită $ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $ care induce aceeași topologie ca $ d $.