Teorema metricii mărginite asociate
Fie un spațiu metric \( (X, d) \). Dacă definim funcția \( d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) \), obținem o metrică mărginită care induce exact aceeași topologie ca metrica inițială \( d \). Cu alte cuvinte, noțiunea de mulțime deschisă rămâne neschimbată.
Construcția este simplă:
$$ d'(x, y) = \min(d(x, y), 1) $$
Această definiție păstrează toate distanțele mai mici decât 1 și „taie" toate distanțele mai mari sau egale cu 1 la valoarea 1. Rezultatul este o metrică uniform mărginită, dar care nu modifică structura topologică a spațiului.
Chiar dacă distanțele sunt limitate superior, relațiile de vecinătate dintre puncte rămân aceleași. Din acest motiv, topologia indusă de \( d' \) coincide cu cea indusă de \( d \).
Observație : În loc de 1 se poate folosi orice constantă \(\varepsilon > 0\): $$ d'(x, y) = \min(d(x, y), \varepsilon) $$ În acest caz, distanțele sunt mărginită de \(\varepsilon\), însă topologia rămâne neschimbată. În continuare considerăm cazul \(\varepsilon = 1\) pentru simplitate.
Un exemplu concret
Luăm spațiul \( \mathbb{R} \) cu metrica obișnuită:
$$ d(x, y) = |x - y| $$
Definim metrica mărginită:
$$ d'(x, y) = \min(|x - y|, 1) $$
În această nouă metrică, nicio distanță nu poate depăși valoarea 1.
Dacă \( x = 2 \) și \( y = 5 \), atunci \( d(2, 5) = 3 \), dar \( d'(2, 5) = 1 \). Dacă \( x = 2 \) și \( y = 2{,}5 \), atunci \( d'(2, 2.5) = 0.5 \), exact ca în metrica inițială, deoarece distanța este mai mică decât 1. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & d & d' \\ \hline 2 & 5 & 3 & 1 \\ \hline 2 & 2.5 & 0.5 & 0.5 \\ \hline 6 & 8 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $$
Deși distanțele mari sunt trunchiate, apropierea dintre puncte este descrisă în același mod. Prin urmare, mulțimile deschise rămân aceleași.
De ce topologia nu se schimbă?
Într-un spațiu metric, mulțimile deschise sunt construite din bile deschise.
Chiar dacă în metrica \( d' \) bilele au rază cel mult 1, putem obține orice mulțime deschisă ca reuniune de astfel de bile mai mici.
De exemplu, considerăm bila:
$$ B_d(3, 2) = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 2\} $$
Din această definiție rezultă:
$$ 1 < y < 5 $$
Deci:
$$ B_d(3, 2) = (1, 5) $$
Acest interval poate fi acoperit folosind bile în metrica \( d' \):
$$ B_{d'}(2, 1) \cup B_{d'}(3, 1) $$
Prima acoperă \( (1, 3) \), a doua \( (2, 4) \), iar împreună acoperă întregul interval \( (1, 5) \).
Acest mecanism funcționează în general. Orice mulțime deschisă definită prin \( d \) poate fi reconstruită folosind bile deschise pentru \( d' \).
Demonstrație
Mai întâi verificăm că \( d' \) este o metrică:
- \( d'(x, y) \geq 0 \),
- \( d'(x, y) = 0 \) dacă și numai dacă \( x = y \),
- \( d'(x, y) = d'(y, x) \),
- \( d' \) satisface inegalitatea triunghiulară.
Inegalitatea triunghiulară:
- Dacă una dintre distanțe este cel puțin 1, atunci suma este cel mult 2, iar \( d'(x, z) \leq 1 \), deci: $$ d'(x, z) \leq d'(x, y) + d'(y, z) $$
- Dacă toate distanțele sunt mai mici decât 1, atunci \( d' = d \), iar proprietatea este deja satisfăcută.
Rămâne să arătăm că topologiile coincid. Notăm cu \( T \) topologia indusă de \( d \) și cu \( T' \) pe cea indusă de \( d' \).
- \( T \subseteq T' \),
- \( T' \subseteq T \).
Incluziunea \( T \subseteq T' \)
- Dacă \( r \leq 1 \), atunci \( B_d(x, r) = B_{d'}(x, r) \)
- Dacă \( r > 1 \), atunci \( B_{d'}(x, r) \subseteq B_d(x, r) \)
Incluziunea \( T' \subseteq T \)
- Dacă \( r \leq 1 \), atunci \( B_d(x, r) = B_{d'}(x, r) \)
- Dacă \( r > 1 \), atunci \( B_d(x, r) \) poate fi scrisă ca reuniune de bile de rază \( \leq 1 \):
$$ B_d(x, r) = \bigcup_{i} B_{d'}(x_i, \varepsilon) $$
Concluzie
Rezultă că \( T = T' \). Așadar, metrica inițială și metrica mărginită asociată descriu exact aceeași topologie.
