Spații topologice metrizabile
Un spațiu metrizabil este un spațiu topologic \( X \) pentru care există o metrică \( d \) care reproduce exact topologia lui \( X \).
O metrică \( d \) pe o mulțime \( X \) este o funcție \( d : X \times X \to [0, \infty) \) care respectă câteva proprietăți esențiale: este nenegativă, simetrică, verifică inegalitatea triunghiului și satisface condiția \( d(x, y) = 0 \) dacă și numai dacă \( x = y \).
Topologia indusă de o metrică este construită pornind de la bilele deschise, definite prin:
$$ B_r(x) = \{y \in X : d(x, y) < r\} $$
unde \( r > 0 \) este raza. Mulțimile deschise sunt, în esență, reuniuni arbitrare ale acestor bile.
Prin urmare, un spațiu topologic este metrizabil dacă întreaga sa structură poate fi descrisă cu ajutorul unei metrici.
Observație : Orice mulțime deschisă dintr-un astfel de spațiu poate fi exprimată ca o reuniune, eventual infinită, de bile deschise definite de metrică.
Nu toate spațiile topologice sunt metrizabile. De exemplu, o topologie nehausdorffiană nu poate proveni dintr-o metrică.
Exemplu: dreapta reală
Considerăm dreapta reală \( \mathbb{R} \), înzestrată cu topologia uzuală.
În acest caz, mulțimile deschise sunt reuniuni de intervale deschise \( (a, b) \), unde \( a < b \).
Metrica standard este:
$$ d(x, y) = |x - y| $$
Aceasta măsoară distanța obișnuită dintre două puncte reale.
Bilele deschise generate de această metrică sunt:
$$ B_r(x) = (x - r, x + r) $$
adică intervale deschise. Cum orice mulțime deschisă poate fi obținută ca reuniune de astfel de intervale, rezultă că \( \mathbb{R} \) este un spațiu metrizabil.
Exemplu: topologia discretă
Fie o mulțime arbitrară \( X \), finită sau infinită, înzestrată cu topologia discretă, în care orice submulțime este deschisă.
Definim metrica:
$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{dacă } x = y, \\
1 & \text{dacă } x \neq y.
\end{cases}
$$
Aceasta este numită metrica discretă.
Să vedem cum arată bilele deschise:
- Dacă \( r \leq 1 \), atunci \( B_r(x) = \{ x \} \)
- Dacă \( r > 1 \), atunci \( B_r(x) = X \)
Explicație : Singura situație în care \( d(x, y) < r \) este atunci când \( d(x, y) = 0 \), deci \( y = x \).
Explicație : Atât \( d(x, y) = 0 \), cât și \( d(x, y) = 1 \) satisfac condiția \( d(x, y) < r \), deci toate punctele sunt incluse.
Observăm că bilele deschise coincid cu mulțimile deschise din topologia discretă. Prin urmare, și acest spațiu este metrizabil.
Observații
Câteva idei importante despre spațiile metrizabile:
- Metrizabilitatea este invariantă la homeomorfisme
Dacă două spații sunt homeomorfe, atunci fie ambele sunt metrizabile, fie niciunul nu este. - Teorema de metrizare a lui Urysohn
Un spațiu topologic este metrizabil dacă este regulat și are o bază numărabilă. Acest rezultat oferă un criteriu practic pentru a recunoaște spațiile metrizabile.
