Spații metrizabile și homeomorfisme
Dacă un spațiu topologic \( X \) este metrizabil și un spațiu \( Y \) este homeomorf cu acesta, atunci și \( Y \) este metrizabil.
Metrizabilitatea este o proprietate stabilă la homeomorfism. Cu alte cuvinte, ea nu depinde de forma concretă a spațiului, ci de structura sa topologică.
Mai precis, dacă un spațiu \( X \) este metrizabil, atunci orice spațiu topologic echivalent cu el, adică homeomorf, este de asemenea metrizabil.
Acest fapt este extrem de util în practică. Dacă știm că un spațiu \( X \) este metrizabil și întâlnim un alt spațiu \( Y \) homeomorf cu \( X \), nu mai este necesar să construim explicit o metrică pe \( Y \). Putem concluziona direct că \( Y \) este metrizabil.
Explicație
Un spațiu topologic \( X \) este metrizabil dacă există o metrică \( d \) care îi induce topologia, adică toate mulțimile deschise din \( X \) pot fi descrise folosind noțiunea de distanță.
Un homeomorfism este o aplicație bijectivă între două spații topologice \( X \) și \( Y \), care este continuă și a cărei inversă este, la rândul ei, continuă. Această aplicație păstrează integral structura topologică, ceea ce înseamnă că \( X \) și \( Y \) au aceleași proprietăți esențiale.
Dacă \( X \) este dotat cu o metrică \( d \) care îi generează topologia, atunci spațiul \( Y \), fiind homeomorf cu \( X \), poate fi echipat cu o metrică compatibilă cu topologia sa. Aceasta se construiește în mod natural pornind de la metrica lui \( X \), folosind homeomorfismul.
În concluzie, metrizabilitatea este o proprietate invariantă la homeomorfism: orice spațiu homeomorf cu un spațiu metrizabil este, în mod necesar, metrizabil.
Exemplu
Să considerăm dreapta reală \( \mathbb{R} \), echipată cu topologia sa uzuală indusă de metrica euclidiană, și intervalul deschis \( (-1, 1) \).
Știm că \( \mathbb{R} \) este metrizabil cu metrica standard \( d(x, y) = |x - y| \).
Definim aplicația \( f : \mathbb{R} \to (-1,1) \) prin \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \). Această aplicație este un homeomorfism: este continuă, bijectivă, iar inversa sa este, de asemenea, continuă. Ea stabilește o corespondență regulată între \( \mathbb{R} \) și \( (-1,1) \), fără a modifica structura lor topologică.
Deoarece \( f \) este un homeomorfism, topologia este păstrată. Prin urmare, dacă \( \mathbb{R} \) este metrizabil, atunci și intervalul \( (-1,1) \), care este homeomorf cu acesta, este metrizabil.
În plus, în acest caz, metrizabilitatea este evidentă și direct: intervalul \( (-1,1) \) moștenește metrica euclidiană restricționată.
Același tip de argument se aplică oricărei perechi de spații homeomorfe.
