Topologia dreptunghiului deschis

Topologia dreptunghiului deschis oferă un mod simplu și intuitiv de a înțelege cum funcționează mulțimile deschise în planul $ \mathbb{R}^2 $. În acest cadru, orice mulțime deschisă poate fi privită ca o reuniune de dreptunghiuri deschise, fiecare construit ca produs cartezian al două intervale deschise pe axele de coordonate. Această abordare facilitează explorarea structurii spațiului în două dimensiuni.

Baza acestei topologii este formată din vecinătăți dreptunghiulare deschise, elementele de plecare din care se construiesc, treptat, mulțimi deschise mai complexe.

Așadar, o mulțime $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ este deschisă dacă pentru orice punct $ (x, y) $ din interiorul ei putem găsi un dreptunghi deschis care să conțină punctul și să fie inclus integral în $ U $. Această proprietate permite descrierea clară a ceea ce înseamnă ca un punct să fie „în interior”.

Dreptunghiurile deschise devin astfel piese fundamentale în reprezentarea topologiei planului euclidian.

$$ B= \{ (a, b) \times (c, d) | a< b, c<d \} $$

Valorile reale $ a, b, c, d $ stabilesc limitele fiecărui dreptunghi, cu condiția esențială ca $ a < b $ și $ c < d $.

Acest mod de construire a topologiei reprezintă o alternativă echivalentă la descrierea clasică bazată pe discuri deschise, oferind o perspectivă geometrică diferită, dar la fel de validă.

Notă: Alegerea dreptunghiurilor sau a discurilor ca elemente de bază nu schimbă natura topologică a planului. Important este faptul că ambele permit definirea corectă a mulțimilor deschise în $ \mathbb{R}^2 $.

Exemplu de dreptunghi deschis

Un dreptunghi deschis în $ \mathbb{R}^2 $ se obține combinând două intervale deschise, unul pe axa $ x $ și altul pe axa $ y $.

Să luăm intervalele $ (1, 3) $ pentru axa $ x $ și $ (2, 4) $ pentru axa $ y $.

dreptunghi deschis ilustrat în planul R2

Dreptunghiul deschis generat de aceste intervale include toate punctele $ (x, y) $ ce satisfac $ 1 < x < 3 $ și $ 2 < y < 4 $. Acesta reprezintă o zonă complet deschisă, fără margini incluse.

Formal, scriem această mulțime ca $ (1, 3) \times (2, 4) $.

punctul (2,3) situat în zona interioară a dreptunghiului deschis

Alegând punctul $ (2, 3) $, vedem imediat că se află în interior, deoarece valorile lui $ x $ și $ y $ sunt strict cuprinse între limitele intervalelor respective.

Notă: Marginile dreptunghiului nu fac parte din mulțimea deschisă. Punctele de pe liniile $ x = 1 $, $ x = 3 $, $ y = 2 $ și $ y = 4 $ se află în exterior și nu aparțin dreptunghiului deschis.